\chapter[هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه]{\huge هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه}
در این فصل پایداری  هم‌ریختی‌های تعمیم‌یافته بین جبرهای باناخ را مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم.
\section{سؤال اولام}
مسئله پایداری معادلات تابعی از سوال اولام 
در سال 1940   \cite{30.3}
نشأت گرفت که در ارتباط با پایداری هم‌ریختی‌های گروه است. فرض کنیم $(G_1,\ast)$ یک گروه و $ (G_2,\lozenge,d)$  یک گروه متریک با متر $ d$ باشد. آیا به‌ازای هر $\epsilon>0$ یک $\delta>0$ وجود دارد ‌که اگر نگاشت $ h:G_1\to G_2$ برای هر $ x,y\in G_1$ در نامساوی زیر صدق کند
$$d\left( h(x\ast y),h(x)\lozenge h(y)\right)< \delta,$$
آنگاه یک هم‌ریختی مانند $H:G_1\to G_2$ یافت شود به‌طوری که به‌ازای هر $x\in G_1$ داشته باشیم:
$$d\left( h(x),H(x)\right)<\epsilon.$$
اگر پاسخ این سؤال مثبت باشد گوییم هم‌ریختی $H$ که در تساوی $H(x\ast y)=H(x)\lozenge H(y)$ برای هر $x,y\in G_1$ صدق می‌کند پایدار است. 
 در سال $1941$ هایِرز در مرجع
\cite{20.3}
به سوال اولام برای جبرهای باناخ پاسخ مثبت داد. از آن زمان، تعداد زیادی از مقالات در ارتباط با تعمیم‌های مختلف مسئله اولام و قضیه‌ی هایرز منتشر شد.
در سال $1978$ راسیاس در مرجع
\cite{26.3}
توسیعی از قضیه‌ی هایِرز را بیان کرد. \\
مسئله پایداری
\index{پایداری}
 معادلات تابعی توسط تعداد زیادی از نویسندگان مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است و نتایج بسیار جالبی
در ارتباط با این مسئله بدست آمده است. به‌عنوان مثال مرجع‌های 
\cite{4.3}، \cite{3.3}، \cite{6.3}، \cite{7.3}، \cite{10.3}، \cite{15.3}، \cite{11.3}، \cite{12.3}، \cite{21.3}، \cite{24.3}، \cite{25.3}
و \cite{28.3} را ملاحظه کنید.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------  
\subsection{قضایای هایرز، اولام و راسیاس}
\begin{dfn}
فرض کنیم $ X$  و $Y$ فضاهای نرم‌دار،  $\epsilon \geqslant 0$  و تابع  $f:X\to Y$ مفروض باشد. دراین‌صورت گوییم تابع $f$، 
$ \epsilon$
-جمعی است هرگاه:
$$\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leqslant \epsilon,\quad (x,y \in X).$$
\end{dfn}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{(\textbf{قضیه هایرز} \cite{20.3})}
فرض کنیم $X$ فضایی نرم‌دار، $Y$ فضایی باناخ، $\epsilon \geqslant 0$  و  $f:X\to Y$  یک تابع $ \epsilon$-جمعی باشد.
اگر تابع $T:X\to Y$ با ضابطه‌ی زیر تعریف شود
$$T(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}f(2^nx),\quad (x\in X).$$
آنگاه $T$ یک تابع جمعی یکتایی است که به‌ازای هر $x\in X$ در نامعادله‌ی زیر صدق می‌کند:
$$\|f(x)-T(x)\| \leqslant \epsilon .$$
\end{thm}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{(\textbf{قضیه اولام} \cite{26.3})}
فرض کنیم $X$ فضایی نرم‌دار و $Y$ فضایی باناخ باشد، $\epsilon \geqslant 0$، $0\leqslant p < 1$  و   $f:X\to Y$
تابعی باشد که در نامساوی زیر به‌ازای هر $x,y \in X$ صدق می‌کند:
$$\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leqslant \epsilon \left( \|x\|^p+\|y\|^p\right).$$
دراین‌صورت تابعی جمعی و یکتا مانند $ T:X\to Y$
وجود دارد که با ضابطه‌ی
$$T(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}f(2^nx),$$
 بر $X$ تعریف می‌شود و در نامعادله‌ی 
$$\|f(x)-T(x)\| \leqslant \dfrac{\epsilon}{2-2^p}\|x\|^p,$$
صدق می‌کند.
\end{thm}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{(\textbf{قضیه راسیاس}\cite{26.3})}
فرض کنیم $X$ فضای نرم‌دار و $Y$ فضای باناخ، $\epsilon>0$، $0\leqslant p<1$ و $f:X\to Y$ تابعی باشد که در نامساوی زیر به ازای هر $x,y\in X$ صدق کند:
\[\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|\leq\epsilon(\|x\|^p+\|y\|^p).\]
دراین‌صورت تابعی جمعی و یکتا مانند $T:X\to Y$ وجود دارد  ‌که با ضابطه‌ی 
$T(x)=\underset{n\to\infty}{\lim} 2^n f\left(\frac{x}{2^n}\right)$
بر $X$ تعریف می‌شود و در نامعادله‌ی 
\[\|f(x)-T(x)\|\leq\frac{\epsilon}{2-2^p}\|x\|^p.\qquad (x\in X)\]
 نیز صدق می‌کند. به‌علاوه اگر $p<0$، آنگاه نامعادله‌‌های فوق برای هر $x\neq0$ و $y\neq0$ برقرار هستند. بدیهی است که اگر $\|0\|^p$ را برای $p<0$ همان $\infty$ درنظر گیریم، نامساوی‌های فوق برای $x=y=0$ برقرار هستند. 
\end{thm}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{معرفی فضاهای فرشه}
\begin{dfn}
در  فضاهای برداری، اصطلاح پایه‌ی موضعی همیشه به معنی یک پایه‌ی موضعی در $0$ است. لذا یک پایه‌ی فضای برداری توپولوژیکی $X$ گردایه‌ای مانند $\beta$ از همسایگی‌های $0$ است به‌طوری‌که هر همسایگی $0$ شامل عضوی از $\beta 
$ می‌باشد.
\end{dfn}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
متر $d$ بر فضای برداری $X$ را پایا نامیم اگر به‌ازای هر $x,y,z\in X$،
$$d(x+z,y+z)=d(x,y).$$
\end{dfn}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فضای برداری توپولوژیکی $X$ را موضعاً محدب گوییم اگر یک پایه‌ی موضعی مانند $\beta$ که اعضایش محدب‌اند موجود باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
گوییم فضای برداری توپولوژیک
$X$ یک $ F$-فضا است اگر توپولوژی آن به‌وسیله‌ی یک متر پایای کامل مانند $d$ القا شده باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فضای برداری توپولوژیکی $X$ را یک فضای فرشه نامیم اگر $F$-فضای موضعاً محدب باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ و $B$ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته
\index{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}
 نامیم هرگاه هم‌ریختی ژوردان  
$h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a,b\in A$ داشته باشیم $h(a^2)=h(a)h'(a)$.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ و $B$ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی تعمیم‌یافته نامیم هرگاه  هم‌ریختی 
$h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a,b\in A$ داشته باشیم $h(ab)=h(a)h'(b)$.
\end{dfn}
برای مثال هر هم‌ریختی ژوردان 
\index{هم‌ریختی ژوردان }
 (هم‌ریختی)، هم‌ریختی ژوردان  تعمیم یافته (هم‌ریختی تعمیم یافته) است. امّا عکس این مطلب در حالت کلی درست نیست. برای مثال، فرض کنیم $A$ جبری دلخواه روی میدان $\mathbb{C}$ باشد و $h:A\to A$ یک هم‌ریختی ژوردان  (هم‌ریختی) ناصفر روی $A$ باشد  مثلا ($h(z)=z$). دراین‌صورت $g(z)=ih(z)$ یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته
 \index{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}
  است که هم‌ریختی ژوردان نیست زیرا
$$g(z^2)=iz^2=iz\: z=g(z)h(z)\neq g(z)^2=-z^2.$$
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
راسیاس در \cite{27.3}، گاجدا
\LTRfootnote{Gajda}
 در \cite{19.3} و بورگین
 \LTRfootnote{Bourgin}
  در \cite{5.3} مسئله‌ی پایداری هم‌ریختی‌های حلقه‌ای بین جبرهای باناخ یکدار را ثابت کردند.
بادورا 
\LTRfootnote{Badora}
در \cite{1.3} پایداری هایرز-اولام را برای هم‌ریختی‌های حلقه، که تعمیمی از نتایج بورگین بود، ثابت کرد.\\
میورا و سایرین در \cite{22.3} پایداری هایرز-اولام را برای هم‌ریختی ژوردان 
\index{هم‌ریختی ژوردان }
‌ها نشان دادند. برای جزئیات بیشتر در مورد نتایج مرتبط با پایداری معادلات تابعی روی جبرهای باناخ به مراجع 
\cite{2.3}، \cite{17.3}، \cite{13.3}، \cite{14.3}، \cite{16.3}  
و \cite{18.3} مراجعه کنید.\\
اخیراً اسحاقی گرجی و باوند ‌سوادکوهی اثباتی را برای پایداری هایرز-اولام  هم‌ریختی‌های تعمیم یافته ارائه دادند.
\section{پایداری هایرز-اولام هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه}
در این بخش، ابتدا خاصیت جالب زیر را برای نگاشت‌های جمعی بیان و اثبات می‌کنیم.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lem}\label{400}
\emph{\cite{23.3}} فرض کنیم $X$ و $Y$ فضاهای خطی و $f:X\to Y$ نگاشتی جمعی باشد. اگر به‌ازای هر $x\in X$ و هر
 $\mu  $
در $\mathbb{T}=\lbrace \lambda \in \mathbb{C}: |\lambda|=1\rbrace$ 
\emph{(}دایره‌ی‌ واحد\emph{)}
 داشته باشیم $f(\mu x)=\mu f(x)$، آنگاه $f$ یک نگاشت خطی است.
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
برای خطی بودن نگاشت $f$ کافی است ثابت کنیم که به‌ازای هر $\lambda\in \mathbb{C}$  و هر $x\in X$، 
$.f(\lambda x)=\lambda f(x)$
برای هر $\lambda\in \mathbb{C}$  می‌توان   $n\in \mathbb{N}$   
را آنقدر بزرگ گرفت که $\frac{\lambda}{n}\leqslant 1$. از مبدأ به $\frac{\lambda}{n}$ وصل می‌کنیم و محل تلاقی عمود منصف قطعه خط 
$[0,\frac{\lambda}{n}]$ با دایره‌ی یکه را به $\mu_1$ و  $\mu_2$  نشان می‌دهیم. بدیهی است که $\mu_1 + \mu_2=\frac{\lambda}{n}$. پس به‌ازای هر $x\in X$ با توجه به فرض داریم:
$$f(\frac{\lambda}{n}x)=f(\mu_1x+\mu_2x)=f(\mu_1x)+f(\mu_2x)=\mu_1f(x)+\mu_2 f(x)=\frac{\lambda}{n} f(x).$$
اگر $\lambda=1$ آنگاه برای هر $x\in X$، $ f(\frac{x}{n})=\frac{1}{n}f(x)$. پس:
$$\dfrac{\lambda}{n}f(x)=f(\dfrac{\lambda}{n}x)=f(\dfrac{1}{n}\lambda x)=\dfrac{1}{n}f(\lambda x),$$
و در نتیجه 
$f(\lambda x)=\lambda f(x)$.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
در مرجع 
\cite{23.3}
برهانی ناقص برای لم بالا ارائه شده است که در حین اثبات به مقاله‌ی دیگری هم ارجاع داده شده است. برهان ارائه شده در فوق خیلی کوتاه‌تر و ساده‌تر است.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)