\chapter[مفاهیم و مقدمات  اولیه]{\huge مفاهیم و مقدمات  اولیه}
\pagenumbering{arabic} % Start text with arabic 1
در این فصل برخی از تعریف‌ها، مفهوم‌ها و قضیه‌های بنیادی را می‌آوریم که درفصل‌های بعدی این پایان‌نامه مورد نیاز خواهند بود.
\section{جبرهای باناخ}
در این بخش برخی از مفاهیم و مقدمات اولیه‌  در مورد جبرهای باناخ را که در این پایان‌نامه مورد نیاز است، ارائه می‌دهیم.
\begin{dfn}
گروه $(G,\ast)$ یک مجموعه‌ی ناتهی همراه با عمل دوتایی $\ast$ است که دارای خواص زیر باشند:
\begin{itemize}
\item[1.]
شرکت‌پذیری: برای تمام $ x,y,z \in G$ داریم $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$.
\item[2.]
وجود عنصر همانی: $e\in G$ وجود دارد به‌قسمی که  برای هر $x\in G$، $e\ast x=x\ast e=x$.
\item[3.]
وجود وارون: برای هر $x\in G$، عنصر $y\in G$  وجود داشته باشد به‌طوری‌که $x\ast y=e=y\ast x$ . 
\end{itemize}
گروه $G$ را آبلی گوییم هر گاه به‌ازای هر $x,y \in G$، $x\ast y=y\ast x$.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
مجموعه‌ی $V$ را یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ نامیم، هرگاه عمل جمع $+$ در $V$ 
و عمل دیگری به نام ضرب اسکالر اعضای $\mathbb{F}$ در اعضای $V$ طوری تعریف شوند که دارای خواص زیر باشند:
\begin{enumerate}
\item[الف:]
\textbf{خاصیت جمع:} $(V,+)$ یک گروه آبلی باشد.
\item[ب:]
\textbf{خواص ضرب اسکالر:}
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[1.]
به‌ازای هر $x\in V$، $1x=x$. 
\item[2.]
به‌ازای هر $\alpha,\beta\in \mathbb{F}$ و هر $x\in V$، $\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$. 
\item[3.]
 به‌ازای هر $\alpha,\beta\in \mathbb{F}$ و هر $x,y \in v$، 
$$\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y, (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x.$$
\end{enumerate}
توجه شود که منظور از اسکالر، اعضای میدان $\mathbb{F}$ است. اگر $V$ فضایی برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد و 
 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$  یا $\mathbb{F}=\mathbb{C}$، آنگاه $V$ را به ترتیب فضای برداری حقیقی یا مختلط می‌نامند.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
زیر مجموعه‌ی $C$ از فضای برداری $X$ را محدب گوییم هرگاه پاره‌خط واصل بین هر دو نقطه‌ی $C$ در $C$ باشد یعنی، 
به‌ازای هر $x,y \in C$ و $k\in [0,1]$ رابطه $kx+(1-k)y \in C$ برقرار باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
تابع حقیقی  $\|\cdot\|$ را که روی فضای برداری $X$ تعریف شده است، یک نرم می‌نامیم هرگاه در سه ویژگی زیر صدق کند: 
\begin{enumerate}
\item
 به‌ازای هر $x\in X$، $||x||\geqslant 0$ و $||x||=0$ اگر و فقط اگر $x=0$.
\item
 به‌ازای هر $x\in X$ و هر اسکالر  $\alpha$ 
 {\rm(}از میدانی که فضای برداری روی آن تعریف شده{\rm)}،
  $||\alpha x||=|\alpha|.||x||$.
  \item
 به‌ازای هر $x,y\in X$، $||x+y||\leqslant ||x||+||y||$.
 \end{enumerate}
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
اگر $ X$ یک فضای نرم‌دار باشد، به‌ازای هر $x,y \in X$ همواره داریم:
$$\Big| \|x\|-\|y\| \Big| \leqslant \|x-y\|.$$
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
دنباله‌ی $(x_n)$  را کوشی گوییم اگر به‌ازای هر $\epsilon >0$ یک عدد صحیح مانند $N$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر 
$n,m \geqslant N$، 
$.\|x_m-x_n\| < \epsilon$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فضای نرم‌داری را که هر دنباله‌ی کوشی در آن همگرا باشد کامل ‌گوییم و آن را فضای باناخ می‌نامیم.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $(X,\|\cdot\|)$ یک فضای نرم‌دار باشد. نگاشت  $\varphi:X\to \mathbb{C}$ را تابعک خطی گوییم اگر به‌ازای هر 
$x,y\in X$ و هر $ \lambda \in \mathbb{C}$ ، $\varphi(\lambda x+y)=\lambda \varphi(x)+\varphi(y)$. تابعک خطی 
$\varphi$ را کراندار گوییم هرگاه عددی ثابت مانند $M$ یافت شود به‌طوری‌که به‌ازای هر $ x\in X$، 
$|\varphi(x)|\leqslant M\|x\|$. مجموعه‌ی همه‌ی تابعک‌های خطی کراندار روی $X$ را به $ X'$ نمایش می‌دهند و آن را فضای 
دوگان (اول)  $X$ گویند.  $X'$ خود یک فضای برداری است و نرم $\varphi\in X'$ را با ضابطه‌ی 
$\|\varphi\|=\sup_{\|x\|\leqslant 1}|\varphi(x)|$ تعریف می‌کنند. به همین قیاس می‌توان فضای دوگان (اول) $X'$ را 
تعریف کرد که به $X''$ نمایش می‌دهند و آن را فضای دوگان دوم $X$ گویند.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $X$ یک مجموعه باشد. یک متر روی $X$ تابعی مانند   $ d:X\times X\to \mathbb{R}$ است که:
\begin{itemize}
\item[1.]
 برای هر $x,y \in X$، $d(x,y)\geqslant 0$.
\item[2.]
برای هر  $x,y \in X$، $d(x,y)=0$ اگر و تنها اگر  $x=y$.
\item[3.]
برای هر  $x,y \in X$، $d(x,y)=d(y,x)$.
\item[4.]
 برای هر  $x,y,z \in X$، 
 $.d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
\end{itemize}
زوج $(X,d)$ را فضای متریک گویند. در هر فضای متریک، گوی باز به مرکز $x$ و شعاع $r$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$B_r(x)=\lbrace y:\quad d(x,y)< r\rbrace.$$
به‌خصوص اگر $X$ فضای نرم‌دار باشد مجموعه‌های $B_1(0)=\lbrace x: \|x\| < 1\rbrace$  و  
$ \overline{B}_1(0)=\lbrace x: \|x\| \leqslant 1\rbrace$
را به‌ترتیب گوی یکه‌ی باز و گوی یکه‌ی بسته‌ی $X$ نامیم.
\end{dfn}
... (ادامه مطالب حذف شده است)
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{$C^{\ast}$-جبرها}
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ یک جبر مختلط باشد. یک برگشت 
\LTRfootnote{Involution}
روی $A$ عبارت است از نگاشت $\ast:A\to A$ با ضابطه‌ی
 $x\mapsto x^\ast$ 
 به‌طوری‌که در شرایط زیر صدق کند:
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}]
به‌ازای هر $a,b\in A$ و $\alpha\in \mathbb{C}$، داشته باشیم
$.(a+\alpha b)^{\ast}=a^{\ast}+\overline{\alpha} b^{\ast}$
\item[\textbf{2.}]
به‌ازای هر $a,b\in Aٍ$،
$.(ab)^{\ast}=b^\ast a^\ast$
\item[\textbf{3.}]
$.(a^\ast)^\ast=a$
\end{enumerate}
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
اگر $A$ جبری باشد که دارای برگشت $\ast$ نیز هست، آن را $\ast$-جبر گوییم.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
جبر باناخ $A$ را یک
$C^\ast$-جبر
\index{$C^\ast$-جبر}
 گوییم هرگاه $A$ دارای برگشتی باشد که به‌ازای هر $a\in A$،  
 $\|aa^*\|=\|a\|^2$. 
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
عضو $a$ از $C^{*}$-جبر $A$  را طولپای جزئی نامیم اگر $aa^{*}a=a$.  
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm} \label{X}
فرض کنیم $A$ یک $C^{\ast}$-جبر باشد. دراین‌صورت هر طولپای جزئی نرم نابیشتر از $1$ دارد.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
اگر $a\in A$ یک طولپای جزئی باشد آنگاه $aa^{\ast}a=a$.  چون $A$ یک $C^{*}$-جبر
است پس $ \|a^{\ast}a\|=\| a \|^2$. حال به جای $ a$ قرار می‌دهیم  $aa^{\ast}$. لذا داریم:
$$\|(aa^{\ast})^{\ast} aa^{\ast}\|=\| aa^{\ast} \|^2 \Rightarrow \|(aa^{\ast}a )a^{\ast}\| =\| aa^{\ast}\|^2
\Rightarrow  \|a\|^2=\| aa^{\ast}\|^2=\|a\|^4 .$$
که نتیجه می‌شود $\|a\|=1$ یا $\|a\|=0$ پس $ \|a\|\leqslant 1$.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{نقطه اکستریم (فرین)}
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ یک فضای برداری باشد و $K\subseteq A$. مجموعه‌ی ناتهی $K$ را یک مجموعه‌ی اکستریم
\index{اکستریم}
 $A$ می‌نامیم هرگاه هیچ نقطه‌ای از $K$ نقطه درونی هیچ بازه‌ای که نقاط انتهایی‌اش در $A$ است، نباشد، مگر آنکه هر دو نقطه انتهایی در $K$ باشند. این شرط را به‌صورت تحلیلی می‌توان چنین بیان نمود. اگر به‌ازای هر $a,b\in A$ و $t\in (0,1)$، 
$(1-t)a+tb\in K$ آنگاه $a,b\in K$. نقاط اکستریم $K$ مجموعه‌های اکستریمی هستند که فقط از یک نقطه تشکیل می‌شوند.
مجموعه‌ی تمام نقاط اکستریم $K$ را با $E(K)$ نشان می‌دهیم.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\lr{\emph{\cite[Theorem 10.2]{Takasaki}}}
فرض کنیم $A$ یک $C^{\ast}$-جبر باشد و $A_1$ گوی یکه‌ی بسته‌ی آن باشد. دراین‌صورت احکام زیر برقرارند:
\begin{itemize}
\item[1.]
 گوی یکه‌ی بسته‌ی $A_1$  دارای  یک نقطه اکستریم
 \index{اکستریم}
  است اگر‌‌ و‌ تنها اگر $ A$ یکدار باشد.
\item[2.]
با فرض   یکدار بودن $ A$،  $a\in A_1$ یک نقطه اکستریم است اگر وتنها اگر $ a^{\ast} a$  و  $ aa^{\ast}  $
تصویری باشند 
\emph{(}به‌عبارت دیگر $ a$ طولپای جزئی باشد\emph{)}.
\end{itemize}
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ و $B$، $\ast$-جبر باشند. نگاشت خطی $\theta:A\to B$ را $\ast$-پایا گوییم اگر 
$$\theta(a^\ast)=\theta(a)^{\ast}\quad (a\in A).$$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{عملگرها}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
اگر $ X$ و $ Y$ فضاهای نرم‌دار باشند دراین‌صورت مجموعه‌ی تمام عملگرهای خطی و کراندار از $X$ به $ Y$ را با 
  $ \mathcal{B}(X,Y)$    نشان می‌دهیم. برای $\varphi \in \mathcal{B}(X,Y) $  نرم $\varphi$ را با ضابطه‌ی زیر تعریف می‌کنیم:
 $$\|\varphi\|=\sup \lbrace\|\varphi(x)\| :\, x\in X, \|x\|\leqslant 1\rbrace.$$
 که با این تعریف فضای $ \mathcal{B}(X,Y)$   
به یک فضای نرم‌دار تبدیل می‌شود.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{cor}
با توجه به تعریف نرم در بالا نتیجه می‌شود که به‌ازای هر $a\in X$ اگر
  $\|a\| \leqslant 1$ 
آنگاه
$\|\varphi(a)\|\leqslant \|\varphi\|$. در حالت کلی‌تر فرض کنیم $b\neq 0$ عضو دلخواه در $X$ باشد. اگر $a=\dfrac{b}{\|b\|}$ آنگاه:
$$\|\varphi(b)\|=\|\varphi(  \|b\| \cdot a)\|=\|b\|\, \|\varphi(a)\|\leqslant \|\varphi\|\, \|b\|.$$
\end{cor}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{(\lr{\cite[Theorem 4.1]{rudin}})}
فرض کنیم $X$ و $Y$ فضاهای نرم‌دار باشند.  اگر $Y$ فضای باناخ باشد آنگاه $\mathcal{B}(X,Y)$ فضای باناخ است.
البته توجه داشته باشید که عکس این مطلب هم برقرار است. یعنی اگر $\mathcal{B}(X,Y)$
باناخ باشد لازم می‌آید که $Y$ باناخ باشد.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{cor}
در حالت خاص اگر $Y=\mathbb{C}$  باشد. چون $\mathbb{C}$ فضای باناخ است در نتیجه
$X'=\mathcal{B}(X,\mathbb{C})$  یک فضای باناخ است.\\
و همچنین چون $X'$ یک فضای باناخ است بنابه همین قضیه نتیجه می‌شود که $X''=\mathcal{B}(X',\mathbb{C})$  نیز یک فضای باناخ است.
\end{cor}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $X$ و $Y$ فضاهای نرم‌دار باشند و $T:X\to Y$ یک عملگر خطی باشد. دراین‌صورت هسته‌ی $T$ را با $ker(T)$ نمایش داده و به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$ker(T)=\lbrace x\in X:\: T(x)=0\rbrace,$$
برای هر عملگر خطی و کراندار $T$،   $ker(T)$ زیرفضای بسته از فضای نرم‌دار $X$ است.  
\end{dfn}
نتیجه‌ی زیر ویژگی‌های مهمی از عملگرهای خطی را نشان می‌دهد و برهان ساده‌ای دارد و در اغلب کتاب‌های ذیربط یافت می‌شود.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}\label{T1} 
فرض کنیم $A$ و $B$ دو فضای نرم‌دار و $T:A\to B$ یک عملگر خطی باشد. دراین‌صورت گزاره‌های زیر باهم معادلند:
\begin{itemize}
\item[1.]
$T$ عملگری کراندار است.
\item[2.]
$T$ در صفر پیوسته است.
\item[3.]
$T$ همه‌جا پیوسته است.
\end{itemize}
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{جبرهای اول و نیم‌اول}
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ یک جبر و $J$ یک زیرفضای خطی از $A$ باشد. دراین‌صورت $J$ را یک ایده‌آل  چپ $A$ گوییم هرگاه 
$AJ\subseteq J$ باشد،  $J$ را یک ایده‌آل راست $A$ گوییم هرگاه 
$JA\subseteq J$ باشد. اگر $J$ ایده‌آل راست و ایده‌آل چپ $A$ باشد آنگاه $J$ را یک ایده‌آل دوطرفه $A$ گوییم.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
ایده‌آل ماکسیمال چپ (راست) $A$ یک ایده‌آل سره (حقیقی) چپ (راست) $A$ است که جزء هیچ ایده‌آل چپ (راست)
دیگری نیست.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ یک جبر باشد چون تمام ایده‌آل‌های چپ (راست) ماکسیمال $A$ شامل صفر هستند پس اشتراک آن‌ها غیر خالی است. اشتراک همه‌ی ایده‌آل‌های ماکسیمال چپ (راست) $A$ را رادیکال $A$ می‌نامیم و با $Rad (A)$ نمایش می‌دهیم.
هرگاه $Rad(A)=\lbrace0\rbrace$، $A$ را نیم‌ساده
\index{نیم‌ساده}
 می‌نامیم. 
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
ایده‌آل  چپ (راست)  $P$ را در جبر $A$  اول گویند هرگاه به‌ازای هر دو ایده‌آل چپ (راست) $I$ و $J$ از $A$ اگر $IJ\subseteq P$ آنگاه 
$I\subseteq P$ یا  $J\subseteq P$.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)
