\thispagestyle{plain}
%\thispagestyle{empty}
\noindent
\textbf{\large\rl{چکیده}} 
%\begin{abstract}
\vskip 0.8cm
نگاشت خطی $h:A\to B$ بین جبرهای  $A$ و $B$ را یک $n$-هم‌ریختی نامیم اگر به‌ازای هر $a_1,\cdots,a_n\in A $
داشته باشیم $h(a_1\cdots a_n)=h(a_1)\cdots h(a_n)$. همچنین نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک $n$-پادهم‌ریختی نامیم هرگاه به‌ازای هر $a_1,\ldots,a_n\in A$ داشته باشیم $h(a_1\cdots a_n)=h(a_n)\cdots h(a_1)$. 
در سال 2010 قاسمی هنری و شایان‌پور نشان دادند که اگر $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند، $B$ نیم‌ساده و تجزیه‌پذیر باشد (یعنی هر عضو آن را بتوان به‌صورت حاصل‌ضرب دو عضو دیگر نوشت) و $h : A\to B$  یک $n$-هم‌ریختی‌ها پوشا باشد، آنگاه $h$ به‌طور خودکار پیوسته است.
این نتیجه که تعمیم قضیه جانسون است، بعداً در سال 2015 توسط اسحاقی گرجی، جباری و کاراپینار بدون شرط تجزیه‌پذیری $B$ ثابت شده است. 
در این پایان‌نامه جزئیات این نتایج را مطالعه می‌کنیم و به بررسی شرایطی می‌پردازیم که تحت آن‌ها $n$-هم‌ریختی‌ها و $n$-پادهم‌ریختی‌های پوشا بین جبرهای باناخ (نه لزوماً یکدار) به‌طور خودکار پیوسته هستند.

برای هر عدد طبیعی $n\geq 2$، نگاشت جمعی $h:A\to B$ را یک $n$-هم‌ریختی حلقه گوییم هرگاه به‌ازای هر $a_1,a_2,\ldots,a_n \in A$، داشته باشیم $h(a_1\cdots a_n)=h(a_n)\cdots h(a_1)$. 
چنانچه تساوی $h(a^n)=h(a)^n$ برای هر $a\in A$ برقرار باشد نگاشت جمعی $h:A \to B$ را یک $n$-هم‌ریختی ژوردان گویند.
یکی دیگر از مسائل اصلی این پایان‌نامه مطالعه $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان بین جبرهای باناخ و بررسی شرایطی است که تحت آن هم‌ریختی‌های ژوردان به یک هم‌ریختی تبدیل می‌شوند.

در ادامه بحث فوق نشان داده می‌شود که اگر $A$ و $B$ جبرهای باناخ و $h:A\to B$ یک هم‌ریختی باشد آنگاه نگاشت $h'':A''\to B''$ که با ضابطه‌ی زیر تعریف می‌شود
$$h''(\phi)=\phi\circ h' \quad (\phi\in A''),$$
%\vspace*{-1.2cm}
$$h'(f)=f\circ h \quad (f\in B'),$$
نیز یک هم‌ریختی است، که در اینجا $A''$ و $B''$، دوگان دوم $A$ و $B$، با ضرب آرنز تبدیل به جبرهای باناخ می‌شوند. 

حال فرض کنیم که  $A$  و $B$، $C^{\ast}$-جبر باشند و $h:A\to B$ یک هم‌ریختی ژوردان حافظ برگشت باشد به‌طوری‌که وقتی $A$ را با توپولوژی ضعیف در نظر می‌گیریم گوی یکه‌ی بسته‌ی آن فشرده باشد و نگاشت $h$  به‌طور ضعیف-نرم پیوسته باشد. در این‌صورت نشان داده می‌شود که نگاشت خطی $h$  کراندار است و به‌علاوه $\|h\|\leqslant 1$. 
همچنین ثابت می‌شود که اگر $A$ و $B$ جبرهای باناخ و  $h:A\to B$ یک 3-هم‌ریختی باشد، آنگاه نگاشت متناظر  $h'':A''\to B''$ نیز 3-هم‌ریختی است. البته این نتیجه برای $n$-هم‌ریختی‌ها نیز با فرض اضافی پیوستگی  $h:A\to B$ ثابت می‌شود.

 فرض کنیم $A$ و $B$ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته نامیم هرگاه هم‌ریختی ژوردان 
$h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a\in A$ داشته باشیم $h(a^2)=h(a)h'(a)$. همچنین نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی تعمیم‌یافته نامیم هرگاه  هم‌ریختی $h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a,b\in A$ داشته باشیم $h(ab)=h(a)h'(b)$.
اسحاقی گرجی، باوند سوادکوهی، پارک و لی در سال 2014، هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بین جبرهای فرشه و باناخ را مورد مطالعه قرار داده‌اند. 
در این پایان‌نامه هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته را در ارتباط با پایداری معادلات تابعی مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم.
\vskip 1cm
\noindent\textbf{واژه‌های کلیدی:}
جبرهای باناخ و فرشه، $n$-هم‌ریختی، $n$-هم‌ریختی حلقه، هم‌ریختی تعمیم‌یافته، $n$-هم‌ریختی ژوردان، هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته، پایداری معادلات تابعی، ضرب آرنز.
  
\vskip 0.4cm
\noindent\textbf{رده‌بندیِ موضوعی ریاضی 2010:}  \lr{17C65}، \lr{39A15}، \lr{39B52}، \lr{39B82}، \lr{39B72}، \lr{46L05}، \lr{46H25}، \lr{47B45}، \lr{47B48}، \lr{47H15}. 