<!1,2018080717:24:31,V.2>
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/strict.dtd">
<html><head><meta name="qrichtext" content="1" /><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /><style type="text/css">
p, li { white-space: pre-wrap; }
</style></head><body>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\chapter[هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه]{\huge هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در این فصل پایداری  هم‌ریختی‌های تعمیم‌یافته بین جبرهای باناخ را مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\section{سؤال اولام}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">مسئله پایداری معادلات تابعی از سوال اولام </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در سال ‎1940   \cite{30.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نشأت گرفت که در ارتباط با پایداری هم‌ریختی‌های گروه است. فرض کنیم ‎$(G_1,\ast)$‎ یک گروه و ‎$ (G_2,\lozenge,d)$‎  یک گروه متریک با متر ‎$ d$‎ باشد. آیا به‌ازای هر ‎$\epsilon&gt;0$‎ یک ‎$\delta&gt;0$‎ وجود دارد ‌که اگر نگاشت ‎$ h:G_1\to G_2$‎ برای هر ‎$ x,y\in G_1$‎ در نامساوی زیر صدق کند</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$d\left( h(x\ast y),h(x)\lozenge h(y)\right)&lt; \delta,$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">آنگاه یک هم‌ریختی مانند ‎$H:G_1\to G_2$‎ یافت شود به‌طوری که به‌ازای هر ‎$x\in G_1$‎ داشته باشیم:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$d\left( h(x),H(x)\right)&lt;\epsilon.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اگر پاسخ این سؤال مثبت باشد گوییم هم‌ریختی ‎$H$‎ که در تساوی ‎$H(x\ast y)=H(x)\lozenge H(y)$‎ برای هر ‎$x,y\in G_1$‎ صدق می‌کند پایدار است. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> در سال ‎$1941$‎ هایِرز در مرجع</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\cite{20.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به سوال اولام برای جبرهای باناخ پاسخ مثبت داد. از آن زمان، تعداد زیادی از مقالات در ارتباط با تعمیم‌های مختلف مسئله اولام و قضیه‌ی هایرز منتشر شد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در سال ‎$1978$‎ راسیاس در مرجع</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\cite{26.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">توسیعی از قضیه‌ی هایِرز را بیان کرد. ‎\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">مسئله پایداری</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\index{پایداری}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> معادلات تابعی توسط تعداد زیادی از نویسندگان مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است و نتایج بسیار جالبی</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در ارتباط با این مسئله بدست آمده است. به‌عنوان مثال مرجع‌های </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\cite{4.3}‎، ‎\cite{3.3}‎، ‎\cite{6.3}‎، ‎\cite{7.3}‎، ‎\cite{10.3}‎، ‎\cite{15.3}‎، ‎\cite{11.3}‎، ‎\cite{12.3}‎، ‎\cite{21.3}‎، ‎\cite{24.3}‎، ‎\cite{25.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و ‎\cite{28.3}‎ را ملاحظه کنید.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\subsection{قضایای هایرز، اولام و راسیاس}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ X$‎  و ‎$Y$‎ فضاهای نرم‌دار،  ‎$\epsilon \geqslant 0$‎  و تابع  ‎$f:X\to Y$‎ مفروض باشد. دراین‌صورت گوییم تابع ‎$f$‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \epsilon$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">-جمعی است هرگاه:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leqslant \epsilon,\quad (x,y \in X).$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\emph{(\textbf{قضیه هایرز} ‎\cite{20.3})}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$X$‎ فضایی نرم‌دار، ‎$Y$‎ فضایی باناخ، ‎$\epsilon \geqslant 0$‎  و  ‎$f:X\to Y$‎  یک تابع ‎$ \epsilon$-‎جمعی باشد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اگر تابع ‎$T:X\to Y$‎ با ضابطه‌ی زیر تعریف شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$T(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}f(2^nx),\quad (x\in X).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">آنگاه ‎$T$‎ یک تابع جمعی یکتایی است که به‌ازای هر ‎$x\in X$‎ در نامعادله‌ی زیر صدق می‌کند:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\|f(x)-T(x)\| \leqslant \epsilon‎ .‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\emph{(\textbf{قضیه اولام} ‎\cite{26.3})}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$X$‎ فضایی نرم‌دار و ‎$Y$‎ فضایی باناخ باشد، ‎$\epsilon \geqslant 0$‎، ‎$0\leqslant p &lt; 1$‎  و   ‎$f:X\to Y$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">تابعی باشد که در نامساوی زیر به‌ازای هر ‎$x,y \in X$‎ صدق می‌کند:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leqslant \epsilon \left( \|x\|^p+\|y\|^p\right).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت تابعی جمعی و یکتا مانند ‎$ T:X\to Y$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">وجود دارد که با ضابطه‌ی</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$T(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}f(2^nx),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> بر ‎$X$‎ تعریف می‌شود و در نامعادله‌ی </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\|f(x)-T(x)\| \leqslant \dfrac{\epsilon}{2-2^p}\|x\|^p,$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">صدق می‌کند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\emph{(\textbf{قضیه راسیاس}\cite{26.3})}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$X$‎ فضای نرم‌دار و ‎$Y$‎ فضای باناخ، ‎$\epsilon&gt;0$‎، ‎$0‎‎\leqslant‎‎ p&lt;1$‎ و ‎$f:X\to Y$‎ تابعی باشد که در نامساوی زیر به ازای هر ‎$x,y\in X$‎ صدق کند:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\[\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|\leq\epsilon(\|x\|^p+\|y\|^p).\]‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت تابعی جمعی و یکتا مانند ‎$T:X\to Y$‎ وجود دارد  ‌که با ضابطه‌ی </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$T(x)=\underset{n\to\infty}{\lim} 2^n f\left(\frac{x}{2^n}\right)$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بر ‎$X$‎ تعریف می‌شود و در نامعادله‌ی </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\[\|f(x)-T(x)\|\leq\frac{\epsilon}{2-2^p}\|x\|^p.\qquad (x\in X)\]‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> نیز صدق می‌کند. به‌علاوه اگر ‎$p&lt;0$‎، آنگاه نامعادله‌‌های فوق برای هر ‎$x\neq0$‎ و ‎$y\neq0$‎ برقرار هستند. بدیهی است که اگر ‎$\|0\|^p$‎ را برای ‎$p&lt;0$‎ همان ‎$\infty$‎ درنظر گیریم، نامساوی‌های فوق برای ‎$x=y=0$‎ برقرار هستند. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\subsection{معرفی فضاهای فرشه}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:2;">در  فضاهای برداری، اصطلاح پایه‌ی موضعی همیشه به معنی یک پایه‌ی موضعی در ‎$0$‎ است. لذا یک پایه‌ی فضای برداری توپولوژیکی ‎$X$‎ گردایه‌ای مانند ‎$\beta$‎ از همسایگی‌های ‎$0$‎ است به‌طوری‌که هر همسایگی ‎$0$‎ شامل عضوی از ‎$\beta‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ می‌باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">متر ‎$d$‎ بر فضای برداری ‎$X$‎ را پایا نامیم اگر به‌ازای هر ‎$x,y,z\in X$‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$d(x+z,y+z)=d(x,y).$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%---------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فضای برداری توپولوژیکی ‎$X$‎ را موضعاً محدب گوییم اگر یک پایه‌ی موضعی مانند ‎$\beta$‎ که اعضایش محدب‌اند موجود باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">گوییم فضای برداری توپولوژیک</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$X$‎ یک ‎$ F$-‎فضا است اگر توپولوژی آن به‌وسیله‌ی یک متر پایای کامل مانند ‎$d$‎ القا شده باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فضای برداری توپولوژیکی ‎$X$‎ را یک فضای فرشه نامیم اگر ‎$F$-‎فضای موضعاً محدب باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\subsection{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$A$‎ و ‎$B$‎ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی ‎$h:A\to B$‎ را یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\index{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> نامیم هرگاه هم‌ریختی ژوردان  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$h':A\to B$‎ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر ‎$a,b\in A$‎ داشته باشیم ‎$h(a^2)=h(a)h'(a)$‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$A$‎ و ‎$B$‎ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی ‎$h:A\to B$‎ را یک هم‌ریختی تعمیم‌یافته نامیم هرگاه  هم‌ریختی </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$h':A\to B$‎ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر ‎$a,b\in A$‎ داشته باشیم ‎$h(ab)=h(a)h'(b)$‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای مثال هر هم‌ریختی ژوردان </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\index{هم‌ریختی ژوردان }</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> (هم‌ریختی)، هم‌ریختی ژوردان  تعمیم یافته (هم‌ریختی تعمیم یافته) است. امّا عکس این مطلب در حالت کلی درست نیست. برای مثال، فرض کنیم ‎$A$‎ جبری دلخواه روی میدان ‎$\mathbb{C}$‎ باشد و ‎$h:A\to A$‎ یک هم‌ریختی ژوردان  ‎(هم‌ریختی)‎ ناصفر روی ‎$A$‎ باشد  مثلا ‎($h(z)=z$)‎. دراین‌صورت ‎$g(z)=ih(z)$‎ یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> \index{هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  است که هم‌ریختی ژوردان نیست زیرا</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$g(z^2)=iz^2=iz\‎: ‎z=g(z)h(z)\neq g(z)^2=-z^2.$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">راسیاس در ‎\cite{27.3}‎، گاجدا</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\LTRfootnote{Gajda}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> در ‎\cite{19.3}‎ و بورگین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\LTRfootnote{Bourgin}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  در ‎\cite{5.3}‎ مسئله‌ی پایداری هم‌ریختی‌های حلقه‌ای بین جبرهای باناخ یکدار را ثابت کردند.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بادورا </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\LTRfootnote{Badora}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در ‎\cite{1.3}‎ پایداری هایرز-اولام را برای هم‌ریختی‌های حلقه، که تعمیمی از نتایج بورگین بود، ثابت کرد‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">میورا و سایرین در ‎\cite{22.3}‎ پایداری هایرز-اولام را برای هم‌ریختی ژوردان </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\index{هم‌ریختی ژوردان }</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‌ها نشان دادند. برای جزئیات بیشتر در مورد نتایج مرتبط با پایداری معادلات تابعی روی جبرهای باناخ به مراجع </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\cite{2.3}‎، ‎\cite{17.3}‎، ‎\cite{13.3}‎، ‎\cite{14.3}‎، ‎\cite{16.3}‎  </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و ‎\cite{18.3}‎ مراجعه کنید‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اخیراً اسحاقی گرجی و باوند ‌سوادکوهی اثباتی را برای پایداری هایرز-اولام  هم‌ریختی‌های تعمیم یافته ارائه دادند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\section{پایداری هایرز-اولام هم‌ریختی‌های ژوردان تعمیم‌یافته بر جبرهای فرشه}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در این بخش، ابتدا خاصیت جالب زیر را برای نگاشت‌های جمعی بیان و اثبات می‌کنیم.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{lem}\label{400}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\emph{\cite{23.3}}‎ فرض کنیم ‎$X$‎ و ‎$Y$‎ فضاهای خطی و ‎$f:X\to Y$‎ نگاشتی جمعی باشد. اگر به‌ازای هر ‎$x\in X$‎ و هر</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$\mu  $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در ‎$\mathbb{T}=\lbrace \lambda \in \mathbb{C}‎: ‎|\lambda|=1\rbrace$‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\emph{(}‎دایره‌ی‌ واحد‎\emph{)}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> داشته باشیم ‎$f(\mu x)=\mu f(x)$‎، آنگاه ‎$f$‎ یک نگاشت خطی است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{lem}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای خطی بودن نگاشت ‎$f$‎ کافی است ثابت کنیم که به‌ازای هر ‎$\lambda\in \mathbb{C}$‎  و هر ‎$x\in X$‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$.f(\lambda x)=\lambda f(x)$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای هر ‎$\lambda\in \mathbb{C}$‎  می‌توان   ‎$n\in \mathbb{N}$‎   </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">را آنقدر بزرگ گرفت که ‎$\frac{\lambda}{n}\leqslant 1$‎. از مبدأ به ‎$\frac{\lambda}{n}$‎ وصل می‌کنیم و محل تلاقی عمود منصف قطعه خط </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$[0,\frac{\lambda}{n}]$‎ با دایره‌ی یکه را به ‎$\mu_1$‎ و  ‎$\mu_2$‎  نشان می‌دهیم. بدیهی است که ‎$\mu_1‎ + ‎\mu_2=\frac{\lambda}{n}$‎. پس به‌ازای هر ‎$x\in X$‎ با توجه به فرض داریم:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$f(\frac{\lambda}{n}x)=f(\mu_1x+\mu_2x)=f(\mu_1x)+f(\mu_2x)=\mu_1f(x)+\mu_2 f(x)=\frac{\lambda}{n} f(x).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اگر ‎$\lambda=1$‎ آنگاه برای هر ‎$x\in X$‎، ‎$ f(\frac{x}{n})=\frac{1}{n}f(x)$‎. پس:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\dfrac{\lambda}{n}f(x)=f(\dfrac{\lambda}{n}x)=f(\dfrac{1}{n}\lambda x)=\dfrac{1}{n}f(\lambda x),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$f(\lambda x)=\lambda f(x)$‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{rem}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در مرجع </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\cite{23.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برهانی ناقص برای لم بالا ارائه شده است که در حین اثبات به مقاله‌ی دیگری هم ارجاع داده شده است. برهان ارائه شده در فوق خیلی کوتاه‌تر و ساده‌تر است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{rem}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">... (ادامه مطالب حذف شده است)</p></body></html>