<!1,2017070614:49:12,V.2>
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/strict.dtd">
<html><head><meta name="qrichtext" content="1" /><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /><style type="text/css">
p, li { white-space: pre-wrap; }
</style></head><body>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\chapter[عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف و بسوف‌گونه]{\huge عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف و بسوف‌گونه}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎در این فصل عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف‌گونه را مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم و با استفاده از نتایج به‌دست‌آمده طول‌پایی عملگرهای ترکیبی روی فضاهای دیریکله وزن‌دار را نیز بررسی می‌کنیم. در نهایت عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف با نرمی معادل را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\section{عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف‌گونه}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎در این بخش ابتدا به بررسی عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف‌گونه می‌پردازیم و ثابت می‌کنیم در برخی از حالات مطلوب‏، طول‌پا بودن عملگر ترکیبی $ C _{\varphi} $  بر فضای بسوف‌گونه  $ B_{p,\alpha} $  معادل این است که خودنگاشت  $ ‎\varphi‎ $  از  $ \D $  یک دوران باشد. با استفاده از نتایج به‌دست‌آمده‏، در خصوص طول‌پایی عملگرهای ترکیبی روی فضاهای دیریکله وزن‌دار نیز نتایجی ارائه می‌کنیم.</p>
<p style="-qt-paragraph-type:empty; margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px;"><br /></p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">قضیه زیر ارتباط بین طول‌پایی عملگر ترکیبی $ C _{\varphi} $ بر فضای $ B_{p,\alpha} $ و طول‌پایی عملگر ترکیبی وزن‌دا‏ر $ W_{\varphi',\varphi} $ بر فضای $ A^{p}_{\alpha} $  را بیان می‌کند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{t2.1}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم ‎$ 1&lt; p &lt; \infty $‎  و ‎$‎ -‎1&lt;\alpha &lt;\infty $‎. دراین‌صورت ‎$ C _{\varphi} $‎  عملگری طول‌پا بر ‎$ B_{p,\alpha} $‎ است اگر و تنها اگر ‎$ \varphi (0)=0 $‎ و ‎$ W_{\varphi',\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$ A^{p}_{\alpha} $‎ باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم ‎$ C_{\varphi}:B_{p,\alpha} \longrightarrow B_{p,\alpha} $‎ عملگری طول‌پاست. نشان می‌دهیم  ‎$ W_{\varphi',\varphi}‎ : ‎A^{p} _{\alpha} \longrightarrow A^{p} _{\alpha} $‎ عملگری طول‌پا است و همچنین    ‎$ \varphi (0) = 0 $.\\‎ از‏آنجاکه  عملگر ‎$  C_{\varphi}:B_{p,\alpha} \longrightarrow B_{p,\alpha} $‎ طول‌پاست، به ازای هر ‎$g \in B_{p,\alpha} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert C_{\varphi} g \Vert _{b_{p}‎ , ‎_{\alpha}} = \Vert g \Vert_{b_{p}‎ , ‎_{\alpha}}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یعنی به ازای هر ‎$ g \in B _{p},_{\alpha} $‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎$$ \vert g ( \varphi (0) ) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert (g \circ \varphi ) ' (z) \vert ^{ p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A (z) = \vert g (0) \vert‎ + ‎\int _{ \D } \vert g ' (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} dA (z). ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر با استفاده از قضیه ‎\ref{t1} ‎‎‎  داریم  ‎$ \varphi(0) = 0 $‎ و به ازای هر ‎$ g \in B_{p,\alpha} $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$\Vert g \circ \varphi \Vert _{B_{p,\alpha}} =  \Vert g \Vert _{B_{p,\alpha}}‎,‎ ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏یعنی‏،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{r2}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int _{\D} \vert \varphi' (z) \vert ^{p} \vert g' (\varphi (z))\vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int _{\D} \vert g'(z)\vert^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} dA(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای اتمام اثبات کافی‌ست ثابت کنیم که به ازای هر  ‎$ f \in A ^{p} _{\alpha} $‎،  ‎$$ \Vert W _{\varphi\prime‎ , ‎\varphi} f \Vert _{ A^{p} _{\alpha}} = \Vert f \Vert_{A ^{p} _{\alpha}}.$$‎  یا به‌طور معادل باید نشان دهیم به ازای هر ‎$ f \in A^{p}_{\alpha} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ \Vert \varphi ' (f \circ \varphi ) \Vert _{A ^{p} _{\alpha}}  =  \Vert f \Vert _{A ^{p} _{\alpha}}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">پس در واقع باید ثابت شود به ازای هر ‎$ f \in A _{\alpha} ^{p} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{xx}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\D} \vert \varphi' (z)  \vert ^{p} \vert f ( \varphi(z)) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int _{\D}\vert f(z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه می‌دانیم ‎$ f \in A ^{p} _{\alpha} $‎ اگر و تنها اگر ‎$ \int_{0}^{z} f (\zeta) d\zeta \in B _{p,\alpha} $‎‏، بنابراین با جایگذاری ‎$ \int_{0}^{z} f(\zeta)d\zeta = g(z) $‎ در رابطه ‎(\ref{r2})‎ خواهیم داشت ‎$$ \vert g (0) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert \varphi' (z) \vert ^{p} \vert f ( \varphi (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \vert g (0) \vert‎  + ‎\int _{\D} \vert f (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که همان نتیجه مورد نظر در رابطه ‎(\ref{xx})‎ است. ‎\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال برای اثبات  عکس قضیه فرض ‌کنیم  ‎$ W _{\varphi'‎ , ‎\varphi}‎ : ‎A ^{p}_{\alpha} \longrightarrow A ^{p}_{\alpha} $‎ عملگری طول‌پا باشد  و ‎$ \varphi (0) = 0 $.‎ یعنی فرض ‌کنیم   ‎$ \varphi (0) = 0$‎ و به ازای هر  ‎$ g \in A _{p} ^{\alpha} $  $$ \Vert W_{\varphi'‎ , ‎\varphi} g \Vert _{A^{p}_{\alpha}}  = \Vert g \Vert_{A^{p}_{\alpha}}‎ .‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا به ازای هر ‎$ g \in A_{\alpha}^{p} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{xxx}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int_{\D} \vert \varphi' (z) \vert ^{p} \vert g ( \varphi (z) )\vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^2 ) ^{ \alpha} d A(z) =\int _{\D} \vert g (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای اثبات طول‌پایی عملگر  ‎$  C_{\varphi}:B_{p‎ , ‎\alpha} \longrightarrow B_{p‎ , ‎\alpha} $‎  باید ثابت کنیم به ازای هر  ‎$ f \in B _{p}‎ , ‎_{\alpha} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert f ( \varphi (0) ) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert \varphi' (z) \vert ^{p} \vert f' (\varphi (z) ) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \vert f (0) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert f' (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه ‎$ f \in B_{p‎ , ‎\alpha} $‎ اگر و تنها اگر ‎$  f' \in A^{p}_{\alpha} $‎، بنابراین با</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  جایگذاری ‎$ g = f' $‎ و با استفاده از ‎$ \varphi(0)=0 $‎ در رابطه ‎(\ref{xxx})‎  حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">خودنگاشت ‎$ \varphi‎: ‎\D \longrightarrow \D $‎ را کامل\index{نگاشت‎!‎‎ کامل} گوییم اگر اندازه لبگ ‎$ \D \setminus \varphi (\D) $‎ برابر صفر باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{t2.2}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\lr{\emph{\cite[Theorem 2.1]{12}}}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با فرض آنکه ‎$ p \neq 2 $‎، تمامی عملگرهای طول‌پا بر فضای برگمن وزن‌دار ‎$ A^{p}_{\alpha} $‎  به شکل عملگرهای ترکیبی وزن‌دار ‎$ W_{\varphi‎ , ‎\psi} $‎ هستند و علاوه‌براین‎،‎\\[-12mm]</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\begin{itemize}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\item[1)] به ازای هر تابع بورل و کران‌دار مانند $ h $ بر $ \D $،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\begin{equation}\label{K}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\int _{\D} h (\varphi (z )) \vert \psi (z) \vert ^{p} ( 1 - \vert z \vert ^{2} )^{\alpha} d A(z) = \int _{\D} h (z) (1 - \vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z).</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\end{equation}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\item[2)] $ \varphi(\D) $  زیر مجموعه‌ای چگال در $ \D $ است.\\[-12mm]</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\item[3)] $ \varphi $ خودنگاشتی کامل از $ \D $ است.\\[-12mm]</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\end{itemize}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با توجه به قضیه‌های \ref{t2.1} و \ref{t2.2} نتیجه زیر را داریم.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}\label{c3.1}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  ‎$ 1 &lt; p &lt;\infty  $‏‎‏، ‎$ p \neq 2 $‎ و ‎$‎ -‎1&lt;\alpha &lt; \infty $‎. اگر ‎$ C _{\varphi} $‎ یک عملگر طول‌پا بر ‎$ B _{p}‎ , ‎_{\alpha} $‎ باشد آنگاه ‎$ \varphi (0)=0 $‎ و همچنین ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی کامل از ‎$ \mathbb{D} $‎  است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‎\begin{dfn}\label{30}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم ‎$‎ -‎1&lt;\alpha&lt;\infty $‎‏، ‎$1&lt;p&lt;\infty $‎ و ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی از ‎$ \D $‎ باشد. دراین‌صورت تابع شمارشی\index{تابع‎!‎‎ شمارشی} متناظر با خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ در نقطه ‎$ \omega \in \D $‎ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{p‎ , ‎\alpha}(w‎ , ‎\varphi) = \sum_{\varphi(z) = w} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2}(1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دقت کنیم که در تعریف فوق اگر ‎$ z \in \D $‎ یافت نشود که ‎$ \varphi(z)=\omega $‎، آنگاه تعریف می‌کنیم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎N_{p‎ , ‎\alpha}(w‎ , ‎\varphi) =0$.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین نتیجه فوری زیر را از تعریف ‎\ref{30}‎ خواهیم داشت:‎</p>
<p style="-qt-paragraph-type:empty; margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px;"><br /></p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\end{dfn}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}\label{63}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم ‎$‎ -‎1&lt;\alpha&lt;\infty $‎‏،  ‎$1&lt;p&lt;\infty $‎ و ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی از ‎$ \D $‎ باشد. دراین‌صورت به ازای هر ‎$ \omega \in \mathbb{D} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{p,\alpha}(\omega,\varphi) = \chi_{_{\varphi(\mathbb{D})}}(\omega) N_{p‎ , ‎\alpha}(\omega,‎\varphi‎)‎.‎$‎$‎‏‎‏</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">تابع شمارشی\index{تابع‎!‎‎ شمارشی} فوق در مطالعه کران‌داری، فشردگی و بسته بودن برد عملگرهای ترکیبی روی فضاهای بسوف‌گونه مورد استفاده قرار می‌گیرد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{lem}\label{lem1}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اگر تابع تحلیلی ‎$ f:\D \longrightarrow \mathbb{C} $‎ تابع ثابت صفر نباشد، آنگاه صفرهای تابع ‎$ f $‎ در ‎$ \D $‎ حداکثر شماراست.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{lem}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏به ازای هر عدد طبیعی ‎$‎n‎$‎‏‎ قرار می‌دهیم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ B_{n} = \lbrace z \in \D‎ : ‎1‎- ‎\frac{1}{n} \leq \vert z \vert &lt; 1‎- ‎\frac{1}{n+1} \rbrace.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت ‎$ B_{n} $‎ها مجموعه‌هایی دو به دو جدا از هم هستند و  ‎$ \D = \bigcup_{n=1} ^{\infty} B_{n} $.‎‌</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \lbrace z \in \D‎: ‎f(z) = 0 \rbrace = \bigcup_{n=1} ^{\infty} \lbrace z \in B_{n}‎ : ‎f(z) = 0 \rbrace‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا کافی‌ست ثابت کنیم به ازای هر عدد طبیعی ‎$ n $‎، مجموعه ‎$ \lbrace z \in B_{n}‎: ‎f(z)=0 \rbrace $‎ متناهی ‌است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎به برهان خلف فرض ‌کنیم ‎$ n_{0} \in \mathbb{N} $‎ چنان یافت شود که مجموعه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \lbrace z \in B_{n_{0}}‎ : ‎f(z) = 0 \rbrace $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">مجموعه‌ای نامتناهی ‌است. دراین‌صورت مجموعه فوق دارای نقطه‌ای حدی در ‎$ \overline{B_{n_{0}}} $‎ و لذا در ‎$ \D $‎ خواهد بود. در نتیجه ‎‏بنابه قضیه ‎\ref{hamany}‎ به ازای هر ‎$ z \in \D $‎ خواهیم داشت ‎$ f(z) = 0 $‎ لذا فرض خلف باطل و حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{th.G}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\emph{‎\textbf{(تغییر متغیر)}‎}‎‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\index{قضیه‎!‎ تغییر متغیر} اگر ‎$ g $‎ و ‎$ W $‎ توابعی نامنفی و اندازه‌پذیر و ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی و ناثابت از ‎$ \mathbb{D} $‎ باشد به‌طوری‌که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  \int_{\D} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} ‎W(z)‎ dA(z) &lt; \infty‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">آنگاه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\D} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z) dA(z) = \int_{\varphi(\D)} g(w) \left( \sum_{j=1}^{\infty} W(z_{j}(\omega )) \right) dA(w)‎,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در آن ‎$ z_{j}(\omega) $‎ها حداکثر شمارا نقطه‏ در ‎$ \D $‎ هستند که ‎$ \varphi(z_{j}(\omega)) = \omega $‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه ‎$ \varphi$‎ خودنگاشتی تحلیلی و ناثابت بر ‎$ \mathbb{D} $‎  است، با توجه به قضیه ‎\ref{SABET}‎، ‎$ z_{0} $‎ متعلق به ‎$ \mathbb{D} $‎  چنان یافت می‌شود که </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \varphi'(z_{0}) \neq 0 $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و چون ‎$ \varphi':\mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{C} $‎ تابعی تحلیلی است، لذا بنابه لم ‎\ref{lem1}‎ تعداد صفرهای تابع ‎$ \varphi' $‎ در ‎$ \mathbb{D} $‎ حداکثر شماراست.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> دنباله نواحی ‎$ \lbrace R_{j} \rbrace $‎ را چنان در نظر می‌گیریم که به ازای هر ‎$ z \in R_{j} $‎، ‎$ \varphi'(z) \neq 0 $‎ و ‎$ \varphi \big\vert_{R_{j}} $‎ تابعی یک به یک باشد و ‎$ \mathbb{D} = \bigcup _{j=1}^{\infty} R_{j} $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه به ازای هر ‎$ j \geq 1 $‎، نگاشت </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \varphi \big\vert_{R_{j}}:R_{j} \longrightarrow \varphi(R_{j}) $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نگاشتی یک به یک و پوشاست، فرض ‌کنیم ‎$ \psi_{j} $‎ معکوس تابع ‎$ \varphi $‎ بر ‎$ R_{j} $‎ باشد، یعنی </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ .‎\psi_{j} = \varphi^{-1}_{j} $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا ‎$ \psi_{j} $‎ نگاشتی یک به یک از ‎$ \varphi(R_{j}) $‎ به ‎$ R_{j} $‎ است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابه قضیه ‎\ref{p.a}‎‏ می‌دانیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{20}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int_{R_{j}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z) dA(z) = \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z)‎.‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر با استفاده از تغییر متغیر ‎$ z = \psi_{j}(\omega) $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{R_{j}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) = \int_{\varphi(R_{j})} g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) ) dA(\omega),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{21}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int_{R_{j}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) =  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{\varphi(R_{j}})} (\omega) g(\omega) W(\psi_{j}(\omega)) dA(\omega).</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین با توجه به روابط ‎(\ref{20})‎ و ‎(\ref{21})‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) = \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{\varphi(R_{j}})} g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) )dA(\omega).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا به ازای هر ‎$ n $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{22}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\sum_{j=1}^{n}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) = \sum_{j=1}^{n}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{\varphi(R_{j}})} (\omega) g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) ) dA(\omega).</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum_{j=1}^{n}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) = \int _{\mathbb{D}} \sum_{j=1}^{n} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z)dA(z),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و نیز ‎$ \sum_{j=1}^{n} \chi_{_{R_{j}}}(z) \leq 1 $‎، بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  \int _{\mathbb{D}} \sum_{j=1}^{n} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) \leq  \int_{\D} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) &lt; \infty‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه به ازای هر ‎$ n $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum_{j=1}^{n}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) \leq  \int_{\D} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) &lt; \infty,$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و لذا</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{58}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\sum_{j=1}^{\infty}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) &lt; \infty‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال با توجه به قضیه ‎\ref{n.levi}‎  خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\sum_{j=1}^{\infty}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) &amp; =  \int_{\mathbb{D}} \sum_{j=1}^{\infty} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z) dA(z) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \int_{\mathbb{D}}  \chi_{_{\bigcup_{j=1}^{\infty}R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \int_{\mathbb{D}}  \chi_{_{\mathbb{D}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\int_{\mathbb{D}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z) dA(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه بنا‎‏به روابط ‎(\ref{22})‎ و ‎(\ref{58})‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  \sum^{\infty}_{j=1} \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{\varphi(R_{j})}}(\omega) g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) )dA(\omega) = \sum_{j=1}^{\infty}  \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{R_{j}}}(z) g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z) dA(z) &lt;‎\infty,‎ $$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum^{\infty}_{j=1} \int_{\mathbb{D}} \chi_{_{\varphi(R_{j})}}(\omega) g(\omega)W(\psi_{j}(\omega) )dA(\omega)= \int_{\mathbb{D}} \sum^{\infty}_{j=1}  \chi_{_{\varphi(R_{j})}}(\omega) g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) ) dA(\omega),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\mathbb{D}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2} W(z) dA(z) = \int_{\mathbb{D}} \sum^{\infty}_{j=1}  \chi_{_{\varphi(R_{j})}}(\omega) g(\omega) W(\psi_{j}(\omega) ) dA(\omega).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال‌‏ ازآنجاکه به ازای هر ‎$ \omega \in \mathbb{D} $‎  داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{23}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\sum _{j=1}^{\infty}\chi_{_{\varphi(R_{j})}} W(\psi_{j}(\omega)) = \sum _{j=1}^{\infty} W (z_{j}(\omega)‎)‎‎,	‎‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\mathbb{D}} g(\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert^{2}W(z)  dA(z) =  \int_{\varphi(\D)} g(w) \left( \sum_{j=1}^{\infty} W(z_{j} (\omega)) \right) dA(w).$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{th2.3}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم  ‎$‎ -‎1&lt;\alpha &lt;\infty $‎. دراین‌صورت ‎$ C _{\varphi} $‎  یک عملگر طول‌پا بر ‎$ B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ است اگر و تنها اگر ‎$ \varphi (0)=0 $‎ و تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = \sum _{ \varphi(z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم  ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎B _{2}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎  عملگری طول‌پاست. لذا بنابه قضیه ‎\ref{t2.1}‎ داریم  ‎$ \varphi (0) = 0 $‎ و همچنین ‎$ W _{\varphi'}‎ , ‎_{\varphi}‎ : ‎A ^{2} _{\alpha} \longrightarrow A ^{2} _{\alpha} $‎ عملگری طول‌پاست. در نتیجه  به ازای هر ‎$ h \in A ^{2} _{\alpha}$‎، ‎$$ \Vert W _{\varphi'}‎ , ‎_{\varphi} h \Vert _{A ^{2} _{\alpha}}= \Vert h \Vert _{A ^{2} _{\alpha}}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا به ازای هر ‎$ h \in A ^{2} _{\alpha} $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{31}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int _{\D} \vert h ( \varphi (z)) \vert ^{2} \vert \varphi' (z) \vert ^{2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} d A(z) = \int _{\D} \vert h(z) \vert ^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z).</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه بنابه قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{32}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\D} \vert h (\varphi (z)) \vert ^{2} \vert \varphi' (z) \vert^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int _{\varphi(\D)} \vert h (\omega ) \vert ^{2} N _{2}‎, ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A(\omega)‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و نیز با توجه به نتیجه ‎\ref{63}‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\D}\vert h(\omega ) \vert ^{2} N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega ) &amp; = \int _{\D} \vert h ( \omega ) \vert ^{2} N_{2,\alpha}(\omega,\varphi) \chi_{_{\varphi(\mathbb{D})}}(\omega) d A (\omega ) \nonumber\\ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\int _{\varphi(\D)}\vert h(\omega ) \vert ^{2} N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega ). ‎\label{207}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با توجه به روابط ‎(\ref{31})‎ و ‎(\ref{32})‎  و ‎(\ref{207})‎ به ازای هر ‎$ h \in A^{2}_{\alpha} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{33}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\D}\vert h(\omega ) \vert ^{2} N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega ) = \int _{\D} \vert h(\omega)\vert^{2} (1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2})^{\alpha} dA(\omega)‎.‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">رابطه ‎(\ref{33})‎ ‏ ‎نتیجه‎ می‌دهد</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  h \in A ^{2} (N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A(\omega)) \Longleftrightarrow h \in A ^{2} _{\alpha},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و همچنین </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{35}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\Vert h \Vert _{A ^{2} _{\alpha}} = \Vert h \Vert _{N_{2,\alpha}}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال فرض کنیم ‎$ P(z,\overline{z}) $‎ یک چندجمله‌ای با دو متغیر ‎$ z $‎ و ‎$ \overline{z} $‎ باشد، یعنی</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ P(z,\overline{z}) = \sum_{k=1}^{n} a_{n_{k},m_{k}} z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در آن ‎$ n \in \mathbb{N} $‎‎‏‏، ‎$ n_{k}‎, ‎m_{k} \in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace $‎ و ‎$‎a_{n_{k},m_{k}‎}‎\in \mathbb{C}$‎‏.‏ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎‎ازآنجاکه با توجه به رابطه ‎(\ref{35})‎ و بنابه قضیه ‎\ref{gho}‎ به ازای هر ‎$ f, ‎g \in A ^{2} _{\alpha} $‎ خواهیم داشت </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{34}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int _{\D} f (\omega) \overline{g (\omega)}  N_{2}, ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) dA( \omega )  = \int _{\D} f (\omega) \overline{g (\omega)} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z),</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با قرار دادن ‎$ g(z) = z^{m_{k}} $‎  و ‎$ f(z) = z^{n_{k}} $‎ در رابطه (\ref{34}) ‎‎ ‏ ‎‎داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\D} z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} N_{2,\alpha} (z, ‎\varphi) dA(z) = \int_{\D} z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2})^{\alpha} dA(z)‎,‎‎‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align}\nonumber‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int_{\D} P(z,\overline{z}) N_{2,\alpha} (z‎ , ‎\varphi) dA(z) &amp; = \int_{\D} \sum_{k=1}^{n} a_{n_{k},m_{k}} z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} N_{2,\alpha} (z‎ , ‎\varphi) dA(z)\\ \nonumber‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\sum_{k=1}^{n} a_{n_{k},m_{k}} \int_{\D}  z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} N_{2,\alpha} (z‎ , ‎\varphi) dA(z)\\ \nonumber‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \sum_{k=1}^{n} a_{n_{k},m_{k}} \int_{\D}  z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2})^{\alpha} dA(z)\\ \nonumber‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\int_{\D}  \sum_{k=1}^{n} a_{n_{k},m_{k}}  z^{n_{k}} \overline{z}^{m_{k}} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2})^{\alpha} dA(z)\\ \label{60}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\int_{\D} P(z,\overline{z}) (1‎- ‎\vert z \vert^{2})^{\alpha} dA(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه با توجه به قضیه استون وایرشتراس  ‎\ref{th.s18}‎  به ازای هر  ‎$ h \in C(\overline{\D}) $‎ دنباله‌ای از چند جمله‌ای‌ها مانند ‎$ P_{n}(z‎, ‎\overline{z}) $‎ یافت می‌شود که به‌طور یکنواخت به ‎$ h $‎ همگراست، بنابراین  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\D} P_{n}(z,\overline{z}) (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) \underset{n \rightarrow\infty}{\longrightarrow} \int _{\D}h(z) (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\D} P_{n}(z,\overline{z}) N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (z‎, ‎\varphi ) d A( z )  \underset{n \rightarrow\infty}{\longrightarrow} \int _{\D} h(z) N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (z‎ , ‎\varphi ) d A( z ).‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با استفاده از رابطه ‎(\ref{60})‎ نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int _{\D} h(\omega) N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega) = \int _{\D}h(\omega) (1‎ - ‎\vert \omega\vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(\omega). ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نهایت با توجه به یکتایی اندازه در قضیه نمایش ریس ‎\ref{th15}‎  نتیجه می‌شود که تقریبا همه جا روی ‎$ \mathbb{D} $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای اثبات  عکس قضیه فرض ‌کنیم  ‎$ \varphi (0) = 0 $‎  و نیز تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = \sum _{ \varphi(z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نشان می‌دهیم عملگر  ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎B _{2}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ طول‌پاست.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏ ‎\\‎به ازای هر ‎$ h \in A ^{2} _{\alpha} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$  \int _{D} \vert h (\omega ) \vert ^{2} N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A(\omega) = \int _{\D} \vert h ( \omega ) \vert ^{2} ( 1‎ - ‎\vert \omega ) ^{2} ) ^{\alpha} d A (\omega ).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه با استفاده از قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎ و نتیجه ‎\ref{63}‎ همانند مرحله قبل،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:2;">‎$$ \int _{\D}\vert h (\omega ) \vert ^{2} N_{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega ) = \int _{\D} \vert h (\varphi (z)) \vert ^{2} \vert \varphi' (z) \vert^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2}‎ ) </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎^{\alpha} d A(z)‎ ,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین می‌توان نتیجه گرفت  به ازای هر   ‎$ h \in A ^{2} _{\alpha} $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:2;">‎$$ \int _{\D} \vert h ( \omega ) \vert ^{2} ( 1‎ - ‎\vert \omega ) ^{2} ) ^{\alpha} d A (\omega ) = \int _{\D} \vert h (\varphi (z)) \vert ^{2} \vert \varphi' (z) \vert^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2}‎ ) </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎^{\alpha} d A(z)‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یعنی به ازای هر   ‎$ h \in A ^{2} _{\alpha} $‎ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert W _{\varphi'}‎ , ‎_{\varphi} h \Vert _{A ^{2} _{\alpha}}= \Vert h \Vert _{A ^{2} _{\alpha}}, ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که بیانگر طول‌پا بودن عملگر  ‎$ W _{\varphi'}‎ , ‎_{\varphi}‎ : ‎A ^{2} _{\alpha} \longrightarrow A ^{2} _{\alpha} $‎ است. این‏ نتیجه بنابه قضیه ‎\ref{t2.1}‎ معادل با طول‌پا بودن عملگر ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎B _{p}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow B _{p}‎ , ‎_{\alpha} $‎ بوده و اثبات را به پایان می‌رساند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به ازای هر ‎$ \omega \in \mathbb{D} $‎ عدد اصلی مجموعه ‎$ \varphi^{-1}(\omega}) = \lbrace z‎ : ‎\varphi (z) = \omega \rbrace $‎  را با نماد ‎$ \eta_{\varphi} (\omega ) $‎ نشان می‌دهیم. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دقت کنیم با توجه به قضیه ‎\ref{th2.3}‎ و تعریف فوق خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\eta _{\varphi} (\omega) &amp; = {card} \lbrace z‎ : ‎\varphi(z) = \omega \rbrace \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \sum_{\lbrace z‎ : ‎\varphi(z) = \omega \rbrace} 1\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = ‎\sum_{\lbrace z : \varphi(z) = \omega \rbrace} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2})^{0}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = N_{2,0}(\omega‎ , ‎\varphi‎ ).</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}\label{co.1}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  ‎$ 0&lt;\alpha &lt;\infty $‎. دراین‌صورت اگر ‎$ C _{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر فضای بسوف‌گونه ‎$ B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ باشد  آنگاه ‎$ \varphi (0) = 0 $‎ و همچنین ‎$ \varphi $‎   یک نگاشت کامل است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">چون ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎B _{2}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow B_{2‎ , ‎\alpha} $‎ عملگری طول‌پاست‏، بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎  داریم  ‎$ \varphi (0) =0 $‎  و تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎،   </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{64}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = \sum _{ \varphi(z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه طبق فرض  ‎$ \alpha &gt; 0 $‎، بنابراین </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} \leq \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{0} = \eta_{\varphi} (\omega)‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه با توجه به رابطه ‎(\ref{64})‎ تقریبا همه جا روی  ‎$ \mathbb{D} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0&lt; ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha} \leq \eta _{\varphi} (\omega )‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین زیرمجموعه‌ای از ‎$ \mathbb{D} $‎ با اندازه صفر مانند ‎$ E $‎  چنان وجود دارد که به ازای هر ‎$ w \in \mathbb{D} \setminus E $‎ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$0 &lt;( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha} \leq \eta_{\varphi} (\omega)‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما از آنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align}\nonumber‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\mathbb{\D} \setminus \varphi (\mathbb{D})  &amp; = \left( (\mathbb{D} \setminus E) \bigcup E \right) \setminus \varphi(\mathbb{\D}) \\ \label{69}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\Big( (\mathbb{D} \setminus E) \setminus \varphi(\D) \Big) \bigcup   \Big( E \setminus \varphi (\D) \Big)‎,‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و ‎$  E \setminus \varphi (\D) $‎ مجموعه‌ای با اندازه صفر است، لذا کافی‎‏‌ست ثابت کنیم ‎$ \Big( (\mathbb{D} \setminus E) \setminus \varphi(\D) \Big) $‎ مجموعه‌ای تهی است. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به برهان خلف فرض ‌کنیم ‎$ \Big( ( \D \setminus E ) \setminus \varphi(\D) \Big) \neq \emptyset$‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین به ازای هر  ‎$  \omega \in \Big( ( \D \setminus E ) \setminus \varphi(\D) \Big)  $‎  خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{24}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎0&lt;(1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2}) ^{\alpha} \leq \eta_{\varphi} (\omega )‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما چون ‎$ \omega  \not \in \varphi ( \D ) $‎ لذا  ‎$  \lbrace z‎ : ‎\varphi (z) = \omega \rbrace $‎ مجموعه‌ای تهی است و در نتیجه ‎$ \eta _{\varphi} (\omega) = 0 $‎‏، که این امری متناقض با رابطه ‎(\ref{24})‎ است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین ‎$ \Big( ( \D \setminus E ) \setminus \varphi(\D) \Big) $‎ مجموعه‌ای تهی و در نتیجه  از رابطه ‎(\ref{69})‎ نتیجه می‌شود ‎$ \D \setminus \varphi (\D ) $‎ مجموعه‌ای با اندازه صفر است که به معنای کامل بودن نگاشت ‎$ \varphi $‎ است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">قضیه بعدی طول‌پایی عملگرهای ترکیبی را بر فضاهای ‎$ B_{2‎, \alpha} $‎  درحالتی‌که ‎$‎ -‎1 &lt; \alpha &lt; 0 $‎ بررسی می‌کند. حالت باقی‌مانده یعنی ‎$  0&lt;\alpha &lt;\infty $‎ در قضیه ‎\ref{t903}‎ بررسی می‌شود.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{3.1}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  ‎$‎  -‎1 &lt; \alpha &lt; 0  $‎ و  ‎$ \varphi $‎  خودنگاشتی تحلیلی و ناثابت از ‎$ \D $‎ باشد. دراین‌صورت ‎$ C _{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$ B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ است اگر و تنها اگر خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم  ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎B _{2}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ عملگری طول‌پا است. نشان می‌دهیم خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است.\\طبق لم شوارتس ‎\ref{le18}‎  به ازای هر  ‎$ z \in \D $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} \geq  ( 1‎ - ‎\vert \varphi (z) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> بنابراین بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎ تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ( ‎1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha} &amp; =  N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi )\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎&amp; = \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎&amp; \geq \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert \varphi (z) \vert ^{2} )^{\alpha}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎&amp; = \sum _{\varphi(z) = \omega} (1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} )^{\alpha}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎&amp; =  (1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} )^{\alpha} \eta _{\varphi} (\omega)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎  </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎،  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">$$ \eta _{\varphi} (\omega) \leq 1.$$</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا می‌توان نتیجه گرفت که تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$  \eta _{\varphi} (\omega) = 1 $‎   یا   ‎$‎ .‎\eta _{\varphi} (\omega) =0 $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نشان می‌دهیم تقریبا همه جا روی  $ \D $، ‎$ \eta_{\varphi}(w) = 1 $.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎  تقریبا همه جا روی ‎$ \mathbb{D} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$   N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2}) ^{\alpha}‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین زیرمجموعه‌ای از ‎$ \D $‎ با اندازه صفر مانند ‎$ E $‎  چنان وجود دارد که به ازای هر ‎$ w \in \D \setminus E $‎، ‎$\eta _{\varphi} (\omega) \leq ‎1‎‎$‎‏ و</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$   N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} =  ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> بنابراین ‎$ \D \setminus E \subseteq \varphi(\D) $‎  و در نتیجه به ازای هر $ \omega \in \D $‏ داریم ‎$  \eta _{\varphi} (\omega)  \neq 0 $‎‏، یعنی ‎$ \eta_{\varphi}(w) = 1 $‎‎.  ‏‎‎بنابراین ‎$ z_{0} $‎  متعلق به ‎$ \D $‎ چنان موجود است که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ ( 1‎ - ‎\vert z_{0} \vert ) ^{2} = ( 1‎ - ‎\vert \varphi( z _{0} ) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎, ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه خواهیم داشت ‎$$ \vert z _{0} \vert = \vert \varphi( z _{0} ) \vert‎. ‎$$‎ لذا با توجه به لم شوارتس ‎\ref{le18}‎ نگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎برای اثبات عکس قضیه فرض ‌کنیم  نگاشت  ‎$ \varphi‎ :‎\D \longrightarrow \D $‎ یک دوران باشد و ‎$ \varphi(0)=0 $‎. بنابراین ‎$ \lambda \in \mathbb{C} $‎ یافت می‌شود به‌طوری‌که‏ $ \vert \lambda \vert = 1 $ و به ازای هر ‎$ z \in \D $‎، ‌</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \varphi(z) = \lambda ‎z.‎‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای آنکه نشان دهیم عملگر  ‎$  C _{\varphi}‎ : ‎B _{2}‎ , ‎_{\alpha} \longrightarrow  B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎  طول‌پاست طبق قضیه ‎\ref{th2.3}‎ کافی‎‏‌ست نشان داده شود که تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$   N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما به ازای هر ‎$ \omega \in \D $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎N _{2}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi )  &amp;=  \sum _{ \lbrace z‎: ‎\varphi (z) = \omega \rbrace} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \sum_{\lbrace z‎ : ‎\lambda z =\omega \rbrace} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2})^{\alpha} \\‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =( 1‎ - ‎\vert \lambda^{-1} \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} )^{\alpha}‎,‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و لذا حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{3.7}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  $ 1 &lt; p &lt;\infty  $، $ p \neq 2 $ و $ -1&lt;\alpha &lt; \infty $. دراین‌صورت ‎$ C _{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$  B _{p}‎ , ‎_{\alpha} $‎  است اگر و تنها اگر  ‎$ \varphi( 0 ) = 0 $‎ و تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$‎    .‎N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2}) ^{\alpha} $$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ C_{\varphi}:B_{p‎ , ‎\alpha} \longrightarrow B_{p‎ , ‎\alpha} $‎ عملگری طول‌پا باشد. لذا بنابه قضیه ‎\ref{t2.1}‎، ‎$ \varphi(0) = 0 $‎ و همچنین ‎$ W_{\varphi'‎ , ‎\varphi}:A_{\alpha}^{2} \longrightarrow A_{\alpha}^{2} $‎  عملگری طول‌پاست.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎‎ازآنجاکه طبق رابطه ‎(\ref{K})‎ به ازای هر تابع بورل و کراندار مانند  ‎$ h $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int _{\D} h (\varphi(z)) \vert \varphi'(z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int _{\D} h (z) ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A (z)‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و همچنین با استفاده از قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int _{\D} h (\varphi (z)) \vert \varphi' (z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A (z) = \int _{\D} h (\omega)  N_{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega )‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{K.1}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\D} h (z) ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A (z) = \int _{\D} h (\omega)  N_{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A( \omega )‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> چون رابطه ‎(\ref{K.1})‎ به ازای هر تابع بورل و کراندار برقرار است و گردایه توابع بورل و  کراندار شامل تمام توابع پیوسته با محمل فشرده است، نتیجه می‌شود رابطه ‎(\ref{K.1})‎ به ازای هر تابع پیوسته  بر ‎$\D $‎  با محمل فشرده نیز برقرار است. لذا با توجه به یکتایی اندازه در قضیه نمایش ریس تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎ خواهیم داشت </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای اثبات عکس قضیه فرض ‌کنیم   ‎$ \varphi (0) = 0 $‎ و تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{66}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2}) ^{\alpha}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎    </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از آنجاکه به ازای هر  ‎$  f \in B _{p}‎ , ‎_{\alpha}  $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert C _{\varphi} f \Vert ^{p} _{B _{p}‎ , ‎_{\alpha}} &amp; = \int _{\D} \vert f'(\varphi(z)) \vert ^{p} \vert \varphi'(z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2})^{\alpha}  d A(z) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \int _{\D} \vert f'(\varphi(z)) \vert ^{p} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2})^{\alpha} \vert \varphi'(z) \vert ^{2} d A(z)‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و بنابه قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert C _{\varphi} f \Vert ^{p} _{B _{p}‎ , ‎_{\alpha}} = \int _{\D} \vert f'(\omega ) \vert ^{p} N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) d A(\omega)‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین رابطه ‎(\ref{66})‎  نتیجه می‌دهد که به ازای هر  ‎$  f \in B _{p}‎ , ‎_{\alpha}  $‎  داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  \Vert C _{\varphi} f \Vert ^{p} _{B _{p}‎ , ‎_{\alpha}} = \int _{\D} \vert f'(\omega ) \vert ^{p}  ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(\omega) = \Vert  f \Vert ^{p} _{B _{p}‎ , ‎_{\alpha}}‎,‎‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و لذا حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎‎‏‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎قضیه زیر تعمیمی از قضیه ‎‏رل حقیقی ‎\ref{rol}‎ به حالت مختلط است که در اثبات قضیه ‎\ref‎{miangin.mokhtalet}  مورد استفاده قرار می‌گیرد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{rol.mokhtalet}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ D_{f} $‎ زیرمجموعه‌ای محدب از صفحه مختلط و  ‎$ f $‎‏ تابعی تحلیلی بر ‎$ D_{f} $‎ باشد. اگر اعضای متمایز ‎$ a‎ , ‎b \in D_{f} $‎  چنان  یافت شوند که  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ f(a) = f(b) = 0 $‎‏‏،</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> آنگاه ‎$ z_{1}‎ , ‎z_{2} \in (a‎ , ‎b) $ یافت می‌شوند به‌طوری‌که </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$Re \left(f'(z_{1}) \right) = Im \left(f'(z_{2}) \right) = 0‎,‎ $$‎‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در آن منظور از $ (a,b) $ پاره‌خط واصل میان دو نقطه $ a $ و $ b $  است‎‏.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ a = a_{1}‎ + ‎ia_{2} $‎ و  ‎$ b =b_{1}‎ + ‎ib_{2} $‎ و   </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ .‎f(z) = u(z)‎ + ‎iv(z) $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> به ازای هر ‎$ z \in D_{f} $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">تابع ‎$ \varphi‎ : ‎[0,1] \longrightarrow \mathbb{R} $‎ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \varphi(t) = (b_{1}‎ - ‎a_{1}) u \left( a‎ + ‎t(b-a) \right)‎ + ‎(b_{2}‎ - ‎a_{2}) v \left( a‎ + ‎t(b-a) \right)‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">واضح است که ‎$ \varphi $‎ بر بازه بسته ‎$  [0,1] $‎ پیوسته و بر بازه باز ‎$ (0,1) $‎ مشتق‌پذیر است و ازآنجاکه ‎$ f(a) = f(b) = 0 $‎ نتیجه می‌شود  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ u(a) = u(b) = 0‎,\; ‎v(a) = v(b) = 0‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا ‎$ \varphi(1) = \varphi(0) = 0 $‎ و در نتیجه‎‏‏، با استفاده از قضیه ‎\ref{rol}‏، $ t_{1} \in (0,1) $‎ یافت می‌شود به‌طوری‌که ‎$ \varphi'(t_{1})=0 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> فرض کنیم ‎$ z_{1} = a‎ + ‎t_{1}(b-a) $‎، بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0 = \varphi'(t_{1}) = (b_{1}‎ - ‎a_{1}) \left[ \dfrac{\partial u}{\partial x}(z_{1}) (b_{1}‎ - ‎a_{1})‎ + ‎\dfrac{\partial u}{\partial y}(z_{1}) (b_{2}‎ - ‎a_{2})\right]‎ +‎$$ $$ (b_{2}‎ - ‎a_{2}) \left[\dfrac{\partial v}{\partial x}(z_{1}) (b_{1}‎ - ‎a_{1})‎ + ‎\dfrac{\partial v}{\partial y} (z_{1}) (b_{2}‎ - ‎a_{2}) \right]‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با توجه به قضیه ‎\ref{riman1}‎ و با استفاده از روابط کوشی-ریمان داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0 =  \dfrac{\partial u}{\partial x}(z_{1}) (b_{1}‎ - ‎a_{1})^{2}‎ - ‎\dfrac{\partial v}{\partial x}(z_{1}) (b_{1}‎ - ‎a_{1})(b_{2}‎ - ‎a_{2})‎ + ‎\dfrac{\partial v}{\partial x}(z_{1})(b_{2}‎ - ‎a_{2}) (b_{1}‎ - ‎a_{1})‎ + ‎\dfrac{\partial u}{\partial x}(z_{1}) (b_{2}‎ - ‎a_{2})^{2}‎ ,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0 =\dfrac{\partial u}{\partial x}(z_{1}) \left( (b_{1}‎ - ‎a_{1})^{2}‎ + ‎(b_{2}‎ - ‎a_{2})^{2} \right)‎,‎ $$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و لذا از آنجاکه عبارت داخل پرانتز ناصفر است نتیجه می‌شود </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ Re \left(f'(z_{1})\right) = \dfrac{\partial u}{\partial x}(z_{1}) = 0.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال اگر قرار دهیم ‎$ g = if $‎، یعنی به ازای هر ‎$ z \in D_{f} $‎ تابع ‎$ g $‎ را چنین تعریف کنیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ g(z) = v(z)‎ - ‎iu(z)‎,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">آنگاه ‎‏بنابه آنچه ثابت شد ‎$ z_{2} \in (a,b) $‎ چنان یافت می‌شود که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0 = Re \left( g'(z_{2}) \right) = \frac{\partial v}{\partial x}(z_{2}) =‎ - ‎\frac{\partial u}{\partial y}(z_{2}) = Im \left(f'(z_{2}) \right).$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎با استفاده از قضیه \ref{rol.mokhtalet} قضیه زیر‏ را‏، که صورت مختلط قضیه مقدار میانگین حقیقی ‎\ref{miangin}‎ است‏، بیان و اثبات می‌کنیم. این قضیه در اثبات سایر قضیه‌های این بخش مورد استفاده قرار خواهد گرفت.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{miangin.mokhtalet}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ D_{f} $‎ زیر مجموعه‌ای محدب از صفحه مختلط‏‏، ‎$ f $‎ تابعی تحلیلی بر ‎$ D_{f} $‎ و  ‎$ a, b\in D_{f} $‎ دو نقطه متمایز باشند. دراین‌صورت ‎$ z_{1}‎ , ‎z_{2} \in (a‎ , ‎b) $‎ یافت می‌شوند به‌طوری‌که\\[-12mm]‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\begin{itemize}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\item[1)] $ Re \left( f'(z_{1}) \right) = Re \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right) $\\[-12mm]</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\item[2)] $ Im \left( f'(z_{1}) \right) = Im \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right) $\\[-12mm]</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\end{itemize}</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به ازای هر ‎$ z \in D_{f} $‎، نگاشت ‎$ g $‎ را چنین تعریف می‌کنیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ g(z) = f(z)‎ - ‎f(a)‎ - ‎\frac{f(b)‎ - ‎f(a)}{b‎ - ‎a} (z‎ - ‎a).$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت واضح است که ‎$ g(b) = g(a) = 0 $‎. بنابراین قضیه ‎\ref{rol.mokhtalet}‎ وجود دو نقطه متمایز ‎$ z_{1}‎ , ‎z_{2} \in (a,b) $‎ را ایجاب می‌کند   به‌طوری‌که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ Re(g'(z_{1})) = Im(g'(z_{2})) = 0‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه به ازای هر ‎$ z \in D_{f} $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ g'(z) = f'(z)‎ - ‎\frac{f(b)‎ - ‎f(a)}{b‎ - ‎a},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0 = Re \left( g'(z_{1}) \right) = Re \left( f'(z_{1}) \right)‎ - ‎Re \left( \frac{f(b)‎ - ‎f(a)}{b-a} \right)‎, ‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 0=  Im \left( g'(z_{2}) \right) = Im \left( f'(z_{2}) \right)‎ - ‎Re \left( \frac{f(b)‎ - ‎f(a)}{b-a} \right), ‎$$ ‎‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏که همان نتیجه مورد نظر است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}\label{lip}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اگر تابع مختلط ‎$ f $‎ بر گوی باز به مرکز ‎$ z_{0} $‎ و شعاع ‎$ r_{0} $‎ تحلیلی و دارای مشتق کران‌دار باشد، آنگاه ‎$ f $‎ یک تابع لیپ‌شیتس است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه ‎$ f $‎ دارای مشتق کران‌دار است، ثابت ‎$ M&gt;0 $‎ وجود دارد به‌طوری‌که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \vert f'(z) \vert \leq M  $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به ازای هر ‎$ z \in B(z_{0}‎ , ‎r_{0}) $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با توجه به قضیه ‎\ref{miangin.mokhtalet}‎ به ازای هر دو عضو متمایز ‎$ \omega_{1}‎ , ‎\omega_{2} \in B(z_{0}‎ , ‎r_{0}) $‎، نقاط ‎$ z_{1}‎ , ‎z_{2} \in B(z_{0}‎ , ‎r_{0}) $‎ یافت می‌شوند به‌طوری‌که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\frac{\vert f(\omega_{1})‎ - ‎f(\omega_{2}) \vert^{2}}{\vert \omega_{1}‎ - ‎\omega_{2} \vert^{2}} &amp; =\left[ Re \left( \frac{f(\omega_{1})‎ - ‎f(\omega_{2})}{\omega_{1}‎ - ‎\omega_{2}} \right) \right]^{2}‎ + ‎\left[ Im \left( \frac{f(\omega_{1})‎ - ‎f(\omega_{2})}{\omega_{1}‎ - ‎\omega_{2}} \right) \right]^{2}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \left( Re(f'(z_{1}) \right)^{2}‎ + ‎\left( Im(f'(z_{2}) \right)^{2} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; \leq \vert f'(z_{1}) \vert^{2}‎ + ‎\vert f'(z_{2}) \vert^{2}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; \leq M^{2}‎ + ‎M^{2} = 2M^{2}‎.‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین به ازای هر ‎$ \omega_{1}‎ , ‎\omega_{2} \in \D $‎  داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert f(\omega_{1})‎ - ‎f(\omega_{2}) \vert \leq \sqrt{2} M \vert \omega_{1}‎ - ‎\omega_{2}\vert‎. ‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏لذا تابع ‎$ f $‎ در شرط لیپ‌شیتس صدق می‌کند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{lem}\label{lem}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی از ‎$ \D $‎ باشد به‌طور‌ی‌که   ‎$ \varphi(0)=0 $‎ و ‎$ \varphi'(0)\neq0 $‎. دراین‌صورت یک همسایگی‏ از صفر مانند ‎$ U $‎ یافت می‌شود که   ‎$ \varphi:U \longrightarrow \varphi(U) $‎ معکوس‌پذیر است و ‎$ \varphi^{-1}:\varphi(U) \longrightarrow U $‎ در شرط لیپ‌شیتس صدق می‌کند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{lem}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه ‎$ \varphi'(0)\neq0 $‎، یک همسایگی از صفر مانند ‎$ V_{1} $‎ را چنان در نظر می‌‌گیریم که به ازای هر </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ z \in \overline{V_{1}} $‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \varphi'(z) \neq0 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر با توجه به قضیه ‎\ref{yek b yek}‎ یک همسایگی از صفر مانند ‎${V_{2}} $‎ چنان یافت می‌شود که خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ بر ‎$ \overline{V_{2}} $‎ یک به یک خواهد بود.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با تعریف</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ V:= V_{1} \cap V_{2}‎ ‎$‏،‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> به ازای هر ‎$ z \in \overline{V} $ داریم  ‎$ \varphi'(z) \neq0 $‎ و همچنین $ ‎\‎varphi$ بر ‎$ \overline{V} $‎ یک به یک است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ‎$ r&gt;0 $‎ را چنان در نظر می‌گیریم که به ازای هر ‎$ z \in \overline{V} $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ .‎\vert \varphi'(z) \vert \geq r $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">چون ‎$ \varphi $‎ تحلیلی است‎‏‏،‎‎‏ بنابه قضیه نگاشت باز ‏‎\ref{open mapping}‎، ‎$ \varphi(V) $‎ زیر مجموعه‌ای باز از ‎$ \D $‎ و شامل صفر است. در نتیجه ‎$ \delta&gt;0 $‎ چنان یافت می‌شود که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ ‎.B(0,‎ ‎\delta) \subseteq \varphi(V) $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با تعریف </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ U:= \varphi^{-1}\Big( B(0,\delta) \Big) \subseteq V‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> نگاشت ‎$ \varphi‎ : ‎U \longrightarrow \varphi(U) $‎ معکوس‌پذیر‏ است و ازآنجاکه‏، بنابه قضیه ‏‎\ref{finv}‎، به ازای هر ‎$ \omega=\varphi(z) \in \varphi(U) $‎‏ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert (\varphi^{-1})'(\omega) \vert = \Big \vert \frac{1}{\varphi'(z)} \Big \vert \leq \frac{1}{r}‎.‎‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏لذا بنابه‎ نتیجه ‎\ref{lip}‏، $ \varphi^{-1} $‎  تابعی لیپ‌شیتس است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{p803}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ 1&lt;p&lt;\infty $‎ و ‎$ -1 &lt;\alpha&lt;\infty $‎ به‌جز  ‎$‎(p, \alpha)=(2, 0)‎$‏.‎ همچنین فرض کنیم  ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی از  ‎$\D $‎  باشد به‌طوری‌که  ‎$ \varphi'(0) \neq 0 $‎. دراین‌صورت  ‌‎$ C_{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر فضای بسوف‌گونه ‎$ B_{p‎,\alpha} $‎ است اگر و تنها اگر  ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎‌</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">می‌دانیم ‎$ \varphi $‎   خودنگاشتی تحلیلی از ‎$ \mathbb{D} $‎ است‏، بنابراین  ‎$ \varphi'‎ : ‎\D \longrightarrow \mathbb{C} $‎  تحلیلی و لذا پیوسته است. چون  ‎$ \varphi'(0) \neq 0 $‎، همانند برهان لم ‎\ref{lem}‎ می‌توان همسایگی ‎$ \bigtriangleup $‎ به مرکز صفر در ‎$ \D $‎ را چنان انتخاب کرد که ‎$ \varphi $‎  روی  ‎$ \overline{\bigtriangleup} $‎ یک به یک باشد و به ازای هر ‎$ z \in \overline{\bigtriangleup} $ داشته باشیم  ‎$ \varphi'(z) \neq 0 $‎ و همچنین ‎$ \varphi:\bigtriangleup \longrightarrow \varphi(\bigtriangleup) $‎ معکوس‌پذیر و  ‎$ \varphi^{-1}:\varphi(\bigtriangleup) \longrightarrow \bigtriangleup $‎ تابعی لیپ‌شیتس باشد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> فرض کنیم   ‎$ C _{\varphi}‎ :‎B_{p,\alpha}  \longrightarrow  B_{p,\alpha} $‎ عملگری طول‌پا‎‏ست. لذا بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎، ‎$ \varphi(0)=0 $‎ و تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎ خواهیم داشت  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$      N_{p, \alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha}‎.‎  ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه بنابه قضیه ‎\ref{26}‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{4}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int_{\varphi (\bigtriangleup)} N_{p, ‎\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) dA(\omega) = \int_{\varphi (\bigtriangleup)}  ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha} dA(\omega)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \int_{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int_{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert ^{2} \vert \varphi'(z) \vert ^{p‎ - ‎2}( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z)‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> با قرار دادن  ‎$  g(z) = 1 $‎  و   ‎$  W(z) = \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} $‎   در قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{t.1}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\int_{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = ‎\int‎_{\varphi (\bigtriangleup)} N_{p‎ , ‎\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) dA(\omega)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر ‎‏مجددا با توجه به قضیه تغییر متغیر ‎\ref{th.G}‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{41}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int_{\bigtriangleup} (1‎ - ‎\vert \varphi(z) \vert^{2})^{\alpha} \vert \varphi'(z) \vert^{2} dA(z) = \int_{\varphi(\bigtriangleup)} (1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2})^{\alpha}dA(\omega)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال با توجه به روابط ‎(\ref{4})‎ و ‎(\ref{t.1})‎ و ‎(\ref{41})‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\int _{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert ^{2} ( 1‎ - ‎\vert \varphi(z) \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z) = \int _{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert ^{p} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} d A(z),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{.4}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\int _{\bigtriangleup} \vert \varphi'(z) \vert^{2} \left( ( 1‎ - ‎\vert \varphi(z) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎ - ‎\vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} \right) dA(z) = 0‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه با توجه به قضیه  ‎\ref{3.7}‎ تقریبا همه جا روی ‎$  \mathbb{D} $‎ و در نتیجه روی ‎$ \varphi(\bigtriangleup) $‎‏ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{42}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi )  = \sum _{\varphi(z) = \omega} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha}= ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2}) ^{\alpha}‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">زیرمجموعه‌ای از ‎$ \varphi(\bigtriangleup) $‎ با اندازه صفر مانند ‎$ E $‎ چنان یافت می‌شود که به ازای هر ‎$ w_{0} \in \varphi(\bigtriangleup) \setminus E $‎ رابطه (\ref{42}) ‎‎ برقرار است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دقت کنیم‏، بنابه لم \ref{lem}‏، با توجه به لیپ‌شیتس بودن تابع   ‎‎$ \varphi^{-1}:\varphi(\bigtriangleup) \longrightarrow \bigtriangleup $‎   ‎ ‎‎می‌توان نتیجه گرفت که ‎$ \varphi^{-1}(E) \subseteq \bigtriangleup $‎ مجموعه‌ای پوچ است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎حال فرض ‌کنیم ‎$ z_{0} \in \bigtriangleup \setminus \varphi^{-1}(E) $‎. دراین‌صورت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ w_{0} = \varphi(z_{0}) \in  \varphi(\bigtriangleup) \setminus E‎ ,‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏و بنابراین با توجه به رابطه ‎(\ref{42})‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎(1‎- ‎\vert \varphi(z_{0}) \vert^{2} )^{\alpha} &amp; = (1‎ - ‎\vert w_{0} \vert^{2})^{\alpha}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\sum_{\varphi(z) = w_{0}} \vert \varphi'(z) \vert^{p-2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; \geq \vert \varphi'(z_{0}) \vert^{p-2} (1‎ - ‎\vert z_{0} \vert^{2} )^{\alpha}‎.‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> لذا تقریبا همه جا روی ‎$ \bigtriangleup $‎ خواهیم داشت، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  (1‎- ‎\vert \varphi(z) \vert^{2} )^{\alpha} \geq \vert \varphi'(z) \vert^{p-2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین تابع تحت انتگرال در رابطه ‎(\ref{.4})‎ تقریبا همه جا نامنفی است. لذا تقریبا همه جا روی ‎$  \bigtriangleup $‎‏ داریم  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{.5}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  ‎\vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \varphi(z) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه طبق فرض  ‎$  (p‎ , ‎\alpha ) \neq (2‎ , ‎0 ) $‎، حالات زیر را در نظر می‌گیریم:</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎حالت اول: فرض کنیم  ‎$ p\neq2 $‎ و ‎$ \alpha\neq2 $.\\‎  دنباله   ‎$ \lbrace z_{n} \rbrace $‎ در ‎$ \bigtriangleup $‎ را به گونه‌ای در نظر می‌گیریم که به ازای هر ‎$ n $‎، ‎$ z_{n} $‎ در رابطه ‎(\ref{.5})‎ صدق کند و همچنین </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ z_{n}\longrightarrow0 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> در نتیجه‏، ازآنجاکه بنابه قضیه \ref{c3.1} داریم  ‎ $ \varphi(0)=0 $‏، با استفاده از پیوستگی ‎$ \varphi $‎ و ‎$ \varphi' $‎  و همچنین با استفاده از رابطه ‎(\ref{.5})‎ نتیجه می‌شود </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ \vert \varphi'(0) \vert ^{p-2} = 1‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا ‎$ \vert \varphi'(0) \vert=1 $‎ و در نتیجه ‎‏بنابه لم شوارتس ‎\ref{le18}‎ خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎ حالت دوم: فرض کنیم   ‎$ p=2 $‎  و ‎$ \alpha \neq0 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎در این ‌حالت با توجه به رابطه ‎(\ref{.5})‎ تقریبا همه جا روی ‎$  \bigtriangleup $‎ داریم  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \varphi(z) ^{2}) ^{\alpha}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ 1-\vert z \vert ^{2} = 1-\vert \varphi(z) \vert^{2}‎.‎ ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> لذا تقریبا همه جا روی ‎$ \bigtriangleup $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ \vert z \vert =  \vert \varphi(z) \vert‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> اما‏ ازآنجاکه ‎$ \vert z \vert $‎ و ‎$ \vert \varphi(z) \vert $‎ توابعی پیوسته‌اند‏، به ازای هر ‎$ z \in \bigtriangleup $‎ خواهیم داشت ‎$ \vert z \vert = \vert\varphi(z) \vert $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> در نتیجه ‎$ \varphi $‎ یک خودنگاشت بر ‎$ \bigtriangleup $‎ است. لذا طبق لم شوارتس ‎\ref{le18}‎ نگاشت ‎$ \varphi‎ : ‎\bigtriangleup \longrightarrow \bigtriangleup $‎ یک دوران و در نهایت بنابه قضیه ‎\ref{hamany}‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \varphi‎ : ‎\mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{D}$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یک دوران است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎حالت سوم : فرض کنیم  ‎$  \alpha =0 $‎ و ‎$ p\neq2 $‎.     </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎این حالت نیز مشابه حالت اول به اثبات می‌رسد زیرا در این حالت به‌طور بدیهی  خواهیم داشت ‎$ \vert \varphi'(0) \vert = 1 $‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\begin{thm}\label{t903}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎‎  ‎$‎ -‎1&lt;\alpha&lt;\infty $‏،‎ ‏ $\alpha\neq 0$ و ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی و ناثابت از ‎$ \D $‎ باشد. دراین‌صورت ‎$ C_{\varphi} $‎  عملگری  طول‌پا بر ‎$ B _{2}‎ , ‎_{\alpha} $‎ است اگر و تنها اگر ‎$ \varphi $‎  یک دوران باشد.     </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ابتدا با فرض طول‌پا بودن عملگر ‎$ C_{\varphi}‎: ‎B_{2,\alpha} \longrightarrow B_{2,\alpha} $‎ برای ‎$ \alpha $‎‎ دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏ ‎\\‎ حالت اول: فرض کنیم ‎$‎ -‎1&lt;\alpha&lt;0 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏ ‎\\‎ در این حالت بنابه قضیه ‎\ref{3.1}‎ طول‌پا بودن عملگر ‎$ C_{\varphi} $‎ معادل با آن است که خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎ حالت دوم: فرض کنیم ‎$0&lt; \alpha &lt;\infty $. ‎\\‎  در این حالت بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎  داریم ‎$  \varphi (0) = 0 $‎ و تقریبا همه جا روی  ‎$ \D $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{r14}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">( ‎1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2} ) ^{\alpha} = \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه ‎$  \varphi $‎‏  خودنگاشتی ناثابت است‏، با توجه به بسط تیلور تابع ‎$ \varphi $‎ و بنابه ‏نتیجه ‎\ref{teyneqo}‎ عددی طبیعی مانند ‎$ n $‎  یافت می‌شود به‌طوری‌که ‎$ \varphi ^{(n)} (0)  \neq 0 $‎ و برای هر  ‎$ j = 0,1,2,3...,n-1 $‎ داریم ‎$ \varphi ^{(j)} (0) = 0$‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎ از طرف دیگر بنابه قضیه ‎\ref{1021}‎ تابعی تحلیلی و یک به یک مانند  ‎$ g $‎  بر گوی بازی مانند ‎$ \bigtriangleup $‎  به مرکز صفر چنان موجود است که ‎$ g (0) = 0 $‎  و به ازای هر ‎$z \in \bigtriangleup $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \varphi (z) = g (z) ^{n}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و  همچنین ‎$ g (\bigtriangleup ) $‎ شامل گویی باز مانند ‎$ \bigtriangleup' $‎  به مرکز صفر و شعاع ‎$ ‎0&lt;‎R &lt; 1 $‎ می‌باشد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ‎$  \omega \in  \bigtriangleup' $‎  را چنان در نظر می‌گیریم که ‎$  0 &lt; \vert \omega \vert &lt; R ^{n}‎$‎‏. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم  ‎$  \omega_{1}‎ , ‎\omega_{2}‎ , ‎\omega_{3},...,\omega_{n} $‎ نشان دهنده ریشه‌های ‎$‎n $‎‏‎‎‏-ام  ‎$  \omega $‎ باشند‏، یعنی  ‎$  \omega_{j}  ^{n} = \omega $‎ برای ‎$ j=1,2,3, ...,n$‎.‎‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎بنابراین داریم ‎$‎‎\vert \omega_{j} \vert = \vert \omega \vert ^{\frac{1}{n}} &lt; R $‎    </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏و لذا برای هر ‎$  j=1, 2, 3, ..., n $‎ خواهیم داشت ‎$$ \omega_{j} \in \bigtriangleup' \subseteq g(\bigtriangleup)‎.‎ ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه برای‏ هر ‎$ j=1,2,3,...,n $‎، ‎$ z_{j} \in \bigtriangleup $‎ را  چنان در نظر می‌گیریم که ‎$ w_{j} = g(z_{j}) $‎. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ w = w_{j}^{n} = g(z_{j})^{n} = \varphi (z_{j})‎ , ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برای هر ‎$ j =‎ ‎1,2,3,...,n $‎، داریم ‎$ z_{j} \in \varphi^{-1}(w) $‎ و در نتیجه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ g^{-1} (w_{j}) \in \varphi^{-1} (w)‎.‎ $$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال با جایگذاری  ‎$  z_{j} = g^{-1} (\omega_{j}) $‎  در رابطه ‎(\ref{r14})‎ برای‏ هر  ‎$ j=‎ ‎1,2,3‎ .‎..,n $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{r15}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">( ‎1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha} = \sum _{\varphi (z) = \omega} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} \geq \sum _{j = 1} ^{n} (1-\vert g ^{-1}(\omega_{ j}) \vert^{2}) ^{\alpha}‎.‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما با توجه به رابطه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ g^{-1} (\omega ) = g^{-1} (0)‎ + ( ‎g ^{-1})'(0) \omega‎  +‎\dfrac{(g^{-1})'' (0) }{2!} \omega ^{2}‎ + ‎\dfrac{(g^{-1})''' (0) }{3!} \omega ^{3}‎ + ... ,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و ازآنجاکه  ‎$  g^{-1} (0) = 0 $‎‎‏‏، نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎g^{-1} (\omega ) &amp; = ( g ^{-1})'(0) \omega‎  + ‎\dfrac{(g^{-1})'' (0) }{2!} \omega ^{2}‎ + ‎\dfrac{(g^{-1})''' (0) }{3!} \omega ^{3}‎ +... ‎\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \omega \left( ( g ^{-1})'(0)‎ + ‎\dfrac{(g^{-1})'' (0) }{2!} \omega‎ ‎+...\right).‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا در یک همسایگی از صفر داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎g^{-1} (\omega ) &amp; = \omega \left( (g ^{-1} )'(0)‎ + ‎o (1) \right) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =\omega \left( \frac{1}{( g ' (0)}‎ + ‎o (1) \right)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما با توجه به رابطه ‎(\ref{r15})‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha} \geq \sum _{j=1} ^{n} \left( 1‎ - ‎\left\vert   \frac{1}{( g ' (0)}‎ + ‎o (1)  \right \vert^{2} \vert \omega _{j}\vert^{2} \right) ^{\alpha}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و چون ‎$  \omega _{j} ^{n} = \omega  $‎   بنابراین </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha} \geq  n \left( 1‎ - ‎\left\vert   \frac{1}{ g ' (0)}‎ + ‎o (1) \right\vert ^{2} \vert \omega \vert ^{\frac{2}{n}} \right) ^{\alpha}‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$ ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) \geq  n ^{\frac{1}{\alpha}}‎ -  ‎n ^{\frac{1}{\alpha}}  \left\vert   \frac{1}{( g ' (0)}‎ + ‎o (1) \right\vert ^{2} \vert \omega \vert ^{\frac{2}{n}}‎, ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در نهایت نتیجه می‌دهد </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  n ^{\frac{1}{\alpha}} \left\vert   \frac{1}{( g ' (0)}‎ + ‎o (1) \right\vert ^{2}  \vert \omega \vert  ^{\frac{2}{n}}‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} \geq n ^{\frac{1}{\alpha}}‎ - ‎1‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و با میل کردن ‎$  \omega $‎  به صفر داریم ‎$  n ^{\frac{1}{\alpha}} \leq 1 $‎‎‏. چون ‎$ \alpha&gt;0 $‎‏، نتیجه می‌شود ‎$ n=1 $‎ یعنی  ‎$ \varphi' (0) \neq 0 $‎. لذا بنابه قضیه   ‎\ref{p803} $ \varphi $‎ یک دوران است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎برای اثبات عکس قضیه فرض کنیم   $ -1&lt;\alpha&lt;\infty $،  $\alpha\neq 0$ و خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد، یعنی به ازای هر ‎$ z \in \D $‎، ‎$ \varphi(z) = \lambda ‎z‎ $‎ که در آن ‎$ \vert \lambda\vert = 1 $‎. لذا بنابه قضیه ‎\ref{p803}‎ حکم برقرار است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{dfn}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با فرض ‎$‎ -‎1&lt;\alpha&lt;\infty $‏،‎ فضای دیریکله وزن‌دار ‎$ \mathcal{D_{\alpha}} $‎ متشکل از تمامی توابع تحلیلی ‎$ f $‎ بر ‎$ \D $‎ است به‌طوری‌که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}_{\alpha}} = \left( \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}} \vert f'(z) \vert ^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}}&lt; \infty.$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{dfn}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فضای دیریکله وزن‌دار ‎$ \mathcal{D_{\alpha}} $‎ همان فضای توابع تحلیلی بسوف‌گونه ‎$ B_{2,\alpha} $‎ است و نرم‌های آنها با هم معادلند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{b_{2‎ , ‎\alpha}}^{2} = \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}} \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z)‎ + ‎2 \vert f(0) \vert \int_{\mathbb{D}} \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}^{2} = \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}}  \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌گیریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}^{2} \leq \Vert f \Vert_{b_{2‎ , ‎\alpha}}^{2},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{0}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha} \leq \Vert f \Vert_{b_{2‎ , ‎\alpha}}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما از طرف دیگر چون</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert f(0) \vert &amp; = \left( \vert f(0) \vert^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; \leq \left(  \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}}  \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert f(0) \vert‎ + ‎\left( \int_{\mathbb{D}}  \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}} &amp; \leq \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}‎ +  ‎\left( \int_{\mathbb{D}}  \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp;  \leq \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}‎+ ‎\left(  \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}}  \vert f'(z) \vert^{2}  (1‎ - ‎\vert z \vert^{2} )^{\alpha} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  2 \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{00}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \Vert_{b_{2,\alpha}} \leq 2 \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال از روابط ‎(\ref{0})‎ و ‎(\ref{00})‎ نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha} \leq \Vert f \Vert_{b_{2‎ , ‎\alpha}} \leq 2 \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}_{\alpha}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و بدین ترتیب حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فضای توابع تحلیلی بسوف‌گونه ‎$ B_{2‎ , ‎0} $‎ همان فضای کلاسیک دیریکله\index{فضای‎!‎ دیریکله} $ \mathcal{D} $‎ با نرم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}} = \left( \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\int_{\mathbb{D}} \vert f'(z) \vert^{2} dA(z) \right)^{\frac{1}{2}}‎,‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">است و  نرم‌های آنها با‏ هم معادلند.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}\label{ko 9}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\lr{\emph{\cite[Page 1703]{13}}}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">عملگر ترکیبی ‎$ C_{\varphi} $‎ بر فضای دیریکله ‎$ \mathcal{D} $‎ عملگری طول‌پاست اگر و تنها اگر ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی کامل و یک به یک از ‎$ \D $‎ با نقطه ثابت صفر باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">عملگر ترکیبی ‎$  C_{ \varphi} $‎   یک نگاشت طول‌پا بر فضای بسوف‌گونه ‎$ B _{2‎ , ‎0} $‎   است اگر و تنها اگر ‎$  \varphi $‎ خودنگاشتی کامل و یک به یک از ‎$ \D $‎ با نقطه ثابت صفر باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم     ‎$ C_{\varphi}‎:  ‎B _{2‎ , ‎0} \longrightarrow  B _{2‎ , ‎0} $‎ عملگری طول‌پاست. ازآنجاکه به ازای هر ‎$  f \in B _{2‎ , ‎0} $‎،  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \Vert _{b _{2‎ , ‎0}} &amp; = \vert f (0) \vert‎ + ‎\left( \int_{\D} \vert f' (z) \vert ^{2} d A(z) \right) ^{\frac{1}{2}}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \vert f(0) \vert‎ + ‎\Vert f \Vert_{B_{2,0}}‎,‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنا‎به قضیه ‎\ref{t1}‎  خواهیم داشت ‎$  \varphi(0) = 0 $‎   و به ازای هر ‎$  f \in B _{2‎ , ‎0} $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{46}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\Vert f \Vert _{B _{2‎ , ‎0}} =  \Vert f \circ \varphi \Vert _{B_{2‎ , ‎0}}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه به ازای هر    ‎$ f \in \mathcal{D}  $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert _{\mathcal{D}} = \left( \vert f (0) \vert ^{2}‎ +  ‎\int_{\D}\vert f'(z) \vert^{2} d A(z) \right)^{\frac{1}{2}}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \Vert _{\mathcal{D}} ^{2} &amp; = \vert f (0) \vert ^{2}‎ +‎\left( \int_{\D}\vert f'(z)\vert^{2} d A(z) \right) \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \vert f (0) \vert ^{2}‎ +‎\left[ \left( \int_{\D}\vert f'(z) \vert^{2} d A(z) \right)^{\frac{1}{2}}\right] ^{2} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \vert f (0) \vert ^{2}‎ + ‎\Vert f \Vert _{s\mathcal{D}} ^{2}‎. ‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه ‎$  \Vert f \Vert _{s\mathcal{D}} =\Vert f \Vert _{B _{2‎ , ‎0}} $‎، با توجه به رابطه ‎(\ref{46})‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{‎s‎{ \mathcal{D}}} = \Vert f \circ \varphi \Vert_{B_{2,0}} = \Vert f \Vert_{B_{2,0}} = \Vert f \Vert_{s\mathcal{D}}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با توجه به قضیه ‎\ref{t1}‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$ C_{\varphi}:\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D} $‎ عملگری طول‌پاست.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال بنابه قضیه ‎\ref{ko 9}‎ حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎برای اثبات عکس قضیه فرض کنیم ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی کامل و یک به یک از ‎$ \D $‎ با نقطه ثابت صفر باشد. دراین‌صورت ‎بنابه قضیه ‎\ref{ko 9}‎، ‎$ C_{\varphi}:\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D} $‎ عملگری طول‌پاست. لذا با توجه به قضیه ‎\ref{t1}‎ به ازای هر ‎$ f \in \mathcal{D} $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{s\mathcal{D}} = \Vert f \Vert_{\mathcal{D}}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \Vert f \Vert_{s\mathcal{D}} = \Vert f \Vert_{B_{2,0}}$‎‏‏، </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{B_{2,0}} = \Vert f \circ \varphi \Vert_{s{ \mathcal{D}}} = \Vert f \Vert_{s\mathcal{D}} =   \Vert f \Vert_{B_{2,0}}‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا بنابه قضیه ‎\ref{t1}‎،   ‎$ C_{\varphi}:B_{2,0} \longrightarrow B_{2,0} $‎  عملگری طول‌پاست.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">قضیه زیر نتیجه فوری قضیه‌های ‎\ref{t903}‎ و ‎\ref{t1}‎ است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم   $ -1&lt;\alpha&lt;\infty $،  $\alpha\neq 0$ و $ \varphi $ خودنگاشتی تحلیلی و ناثابت از $ \D $ باشد. دراین‌صورت  ‎$  C _{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر  ‎$ \mathcal{D_{\alpha}}  $‎  است اگر و تنها اگر ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم  ‎$ C _{\varphi}‎ : ‎\mathcal{D}_{\alpha} \longrightarrow \mathcal{D}_{\alpha} $‎ عملگری طول‌پاست. ازآنجاکه به ازای هر ‎$ f \in \mathcal{D}_{\alpha} $‎،  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{\mathcal{D}_{\alpha}} = \left(\vert f(0) \vert ^{2}‎ + ‎\int_{\D} \vert f'(z) \vert ^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} dA(z)\right)^{\frac{1}{2}}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">نتیجه‏ می‌شود </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$\Vert f \Vert^{2}_{\mathcal{D}_{\alpha}} = \vert f(0) \vert^{2}‎ + ‎\Vert f \Vert^{2}_{s\mathcal{D}_{\alpha}}‎.‎$$‎                         </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا بنابه قضیه  ‎\ref{‎t1‎}‎ داریم ‎$  \varphi(0) = 0 $‎   و  به ازای هر   ‎$ f \in \mathcal{D}_{\alpha} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{48}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert  f\circ \varphi  \Vert_{s\mathcal{D} _{\alpha}} = \Vert f \Vert _{s\mathcal{D} _{\alpha}}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر چون به ازای هر ‎$   f \in B _{2‎ , ‎\alpha} $‎‏ داریم  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  \Vert f \Vert _{B _{2‎ , ‎\alpha}} = \left( \int _{\D} \vert f'(z) \vert ^{2} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} d A(z) \right) ^{\frac{1}{2}},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به ازای هر ‎$  f \in B_{2,\alpha}  $‎خواهیم داشت ‎$$ \Vert f \Vert _{‎s‎\mathcal{D} _{\alpha}}  = \Vert f \Vert _{B _{2‎ , ‎\alpha}},$$‎  </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و لذا با توجه به رابطه ‎(\ref{48})‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{B_{2,\alpha}} = \Vert f \Vert_{B_{2,\alpha}}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین بنابه قضیه‏ ‎\ref{t1}‏،  $  C_{\varphi}‎ : ‎B _{2‎ , ‎\alpha}  \longrightarrow B _{2‎ , ‎\alpha} $‎    عملگری طول‌پا و در نتیجه بنابه قضیه  ‎\ref{t903}‎ نگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎برای اثبات عکس قضیه فرض کنیم خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد. در نتیجه بنابه قضیه ‎\ref{t903}‏، $ C_{\varphi}:B_{2,\alpha} \longrightarrow B_{2,\alpha} $‎ عملگری طول‌پا و لذا بنابه قضیه ‎\ref{t1}‎ داریم ‎$ \varphi(0) = 0 $‎ و به ازای هر ‎$ f \in B_{2,\alpha} $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{B_{2,\alpha}} = \Vert f \Vert_{B_{2,\alpha}}‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما ازآنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \Vert f \Vert_{s\mathcal{D}_{\alpha}} = \Vert f \Vert_{B_{2,\alpha}}$‏،‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \circ \varphi \Vert_{s\mathcal{D}_{\alpha}} = \Vert f \circ \varphi \Vert_{B_{2,\alpha}} = \Vert f \Vert_{B_{2,\alpha}} = \Verیt f \Vert_{s\mathcal{D}_{\alpha}},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه بنابه قضیه ‎\ref{t1}‎،    ‎$ C_{\varphi}:\mathcal{D}_{\alpha} \longrightarrow \mathcal{D}_{\alpha} $‎ عملگری طول‌پاست.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{lem}\label{le31}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  ‎$  \varphi  $‎ خودنگاشتی تحلیلی و کامل از ‎$  \D $‎  باشد به‌طوری‌که ‎$ \varphi(0) = 0 $‎ و به ازای هر ‎$  z \in \D $، $  \vert \varphi' (z) \vert \leq 1 $‎. دراین‌صورت ‎$  \varphi $‎  در صفر موضعا یک به یک است به این معنی که   ‎$  \varphi'  (0) \neq 0 $‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{lem}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">طبق فرض  ‎$  \varphi  $‎ خودنگاشتی تحلیلی و کامل از ‎$ \D $‎ است و ازآنجاکه‏ به ازای هر $  z \in \D $، ‎$  \vert \varphi'(z)  \vert  \leq  1 $‎ نتیجه می‌شود  ‎$  \varphi'‎ : ‎\D \longrightarrow \overline{\D}   $‎ نگاشتی تحلیلی است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه بنابه قضیه نگاشت باز ‎\ref{open mapping}‏، $ \varphi'(\mathbb{D}) $‎ زیرمجموعه‌ای باز ‎است و ‎$ \varphi'(\mathbb{D}) \subseteq \overline{\D} $‎، داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \varphi'(\D) =‎{‎int} ( \varphi'(\D) ) \subseteq {int}(\overline{\D} ) = ‎\D.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه  ‎$  \varphi'  $‎ خودنگاشتی از ‎$  \D $‎ است‎.‎ حال به برهان خلف فرض کنیم ‎$  \varphi'(0) = 0 $‎. بنابه لم شوارتس ‎\ref{le18}‎ به ازای هر ‎$ z \in \D $‎ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$  \vert \varphi'(z)  \vert  \leq  \vert  z   \vert  $‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه به ازای هر ‎$ z \in \D $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert \varphi (z) \vert = \left\vert \int _{0} ^{1} z \varphi'(tz) dt \right\vert \leq \vert z \vert \int _{0} ^{1} \vert \varphi'(tz) \vert dt \leq \vert z \vert ^{2} \int _{0} ^{1} t d t = \frac{\vert z \vert ^{2}}{2} \leq \dfrac{1}{2}‎ .‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابراین ‎$  \varphi (\D)  \subseteq \overline{B( 0‎ , ‎\frac{1}{2}}    )  $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{9}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">   ‎\lambda  \Big( \D  \setminus  \varphi  (\D)\Big)  &gt;  0‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما رابطه ‎(\ref{9})‎ متناقض با  فرض کامل بودن نگاشت ‎$  \varphi  $‎ است. لذا فرض خلف باطل و حکم به اثبات می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم  $ 1 &lt; p &lt;\infty  $، $ p \neq 2 $ و $ -1&lt;\alpha &lt; \infty $. دراین‌صورت  ‎$  C _{\varphi}  $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$  B _{p,\alpha}  $‎ است اگر و تنها اگر خودنگاشت ‎$  \varphi  $‎ یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم   ‎$  C_{\varphi}‎ : ‎B _{p}‎ , ‎_{\alpha}  \longrightarrow  B _{p}‎, ‎_{\alpha} $‎ عملگری طول‌پا باشد. دراین‌صورت بنابه قضیه ‎\ref{th2.3}‎، ‎$ \varphi(0)=0 $‎  و تقریبا همه جا روی ‎$  \D  $‎ خواهیم داشت </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{17}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎N _{p}‎ , ‎_{\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi) = \sum _{\varphi(z) = \omega} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{\alpha} = (1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ابتدا ثابت می‌کنیم خودنگاشت  ‎$  \varphi   $‎ کامل است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎ازآنجاکه رابطه ‎(\ref{17})‎  تقریبا همه جا روی ‎$ \mathbb{D} $‎  برقرار است، زیرمجموعه‌ای از ‎$ \mathbb{D} $‎ با اندازه صفر مانند ‎$ E $‎ موجود است به‌طوری‌که به ازای هر ‎$ w \in \mathbb{D} \setminus E $‎ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{p,\alpha}(\omega,\varphi) = (1-\vert\omega\vert^{2})^{\alpha}‎.‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> برای اثبات حکم کافی‎‏‌ست نشان دهیم  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \Big( \mathbb{D} \setminus \varphi (\mathbb{D}) \Big) \subseteq E $.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎‎به برهان خلف فرض کنیم ‎$ w \in \Big( \mathbb{D} \setminus \varphi(\mathbb{D}) \Big) $‎ چنان موجود باشد که ‎$ w \notin E $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">واضح است که دراین‌صورت ‎$ w \in \mathbb{D} \setminus E $‎ و </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه رابطه ‎(\ref{17})‎ برای ‎$ w $‎ برقرار خواهد بود. لذا  ‎$ z_{1} \in \mathbb{D} $‎   چنان یافت می‌شود ‌که    ‎$ \varphi( z_{1}) = w $‎. در نتیجه ‎$ w \in \varphi (\mathbb{D}) $‎ که با فرض ‎$ w \in \mathbb{D} \setminus \varphi (\mathbb{D}) $‎ در تناقض است‎.‎  </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دقت کنیم که اگر ‎$ z_{1} \in \D $‎ یافت نشود که ‎$ \varphi(z_{1}) = \omega $‎، آنگاه ‎$ N_{p,\alpha}(\omega,\D)=0 $‎ که با توجه به رابطه ‎(\ref{17})‎ یک تناقض است. بنابراین فرض خلف باطل و در نتیجه خواهیم داشت ‎$ \lambda(\D \setminus \varphi(\D)) = 0 $‎ و لذا خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ کامل است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرفی بنابه لم شوارتس ‎\ref{le18}‎ داریم ‎$  \vert \varphi'(0) \vert \leq 1 $‎. اگر ‎$ \vert \varphi'(0) \vert=1 $‎ دراین‌صورت خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است و اثبات به اتمام می‌رسد. اگر ‎$ \vert \varphi'(0) \vert&lt;1 $‎ برای اثبات حکم ‎دو‎ حالت در را در نظر می‌گیریم‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حالت اول: فرض کنیم ‎$ \alpha = 0 $.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در این حالت با اثبات ‎$ \varphi'(0)\neq0 $‎ بنابه قضیه ‎\ref{p803}‎ خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است و لذا اثبات به اتمام می‌رسد. برای اثبات آنکه ‎$  \varphi'(0) \neq0 $‎، حالات ‎$1&lt;p&lt;2$‎ و ‎$ 2&lt;p&lt;\infty $‎ را جداگانه بررسی می‌کنیم‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎1‎) حالت ‎$ 2&lt;p&lt;\infty $:\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">کافی‌ست ثابت کنیم به ازای هر ‎$ z \in \D $‎، ‎$ \vert \varphi'(z) \vert \leq 1 $‎ و دراین‌صورت بنابه لم ‎\ref{le31}‎ رابطه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$  \varphi'(0) \neq 0 $‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">برقرار است‎.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به برهان خلف فرض کنیم ‎$ z_{0} $‎ متعلق به ‎$ \D $‎ چنان یافت شود که ‎$ \vert   \varphi'(z_{0}) \vert  &gt;  1 $‎. قرار می‌دهیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$  r = \vert   \varphi'(z_{0}) \vert‎  - ‎1‎.‎ ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت با توجه به پیوستگی نگاشت ‎$  \varphi' $‎ در نقطه ‎$ z_{0} $‎، ‎$ \delta&gt;0 $‎‏ چنان یافت می‌شود که به ازای هر ‎$  z \in B(z_{0}‎ , ‎\delta  ) $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{p1}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert \varphi' (z)‎ - ‎\varphi'(z_{0}) \vert &lt; r‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با توجه به تحلیلی بودن خودنگاشت ‎$  \varphi $‎ و بنابه قضیه ‎\ref{open mapping}‏، $  \varphi  (B(z_{0}‎ , ‎\delta))  $‎  مجموعه‌ای باز در ‎$  \D  $‎ است و ازآنجاکه رابطه ‎(\ref{17})‎  تقریبا همه جا روی ‎$  \D  $‎ برقرار است‎‏‏، می‌توان نتیجه گرفت که ‎$  \omega_{1} \in  \varphi  (B(z_{0}‎ , ‎\delta))   $‎ چنان یافت می‌شود که رابطه ‎(\ref{17})‎  برای ‎$ \omega_{1} $‎ برقرار است. اما ازآنجاکه ‎$  \omega_{1} \in \varphi  (B(z_{0}‎ , ‎\delta)) $‎‏،  ‎$  z_{1}$‎  متعلق به ‎$  B(z_{0}‎ , ‎\delta) $‎ چنان یافت می‌شود که  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ .‎\omega_{1} = \varphi(z_{1}) $‎    </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> در نتیجه </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum _{\varphi(z) = \omega_{1}} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} = 1‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و بنابراین </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert \varphi'(z_{1}) \vert ^{p-2} \leq \sum _{\varphi(z) = \omega_{1}} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2}‎.‎‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> لذا‏  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \vert \varphi'(z_{1}) \vert ^{p-2} \leq 1$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و چون ‎$  p &gt;2  $‎‏، نتیجه می‌شود </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{p2}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert \varphi'(z_{1}) \vert \leq 1‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نهایت با استفاده از روابط ‎(\ref{p1})‎ و ‎(\ref{p2})‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert \varphi'(z_{0}) \vert  &amp; \leq \vert \varphi'(z_{0})‎ - ‎\varphi'(z_{1}) \vert‎ + ‎\vert \varphi'(z_{1}) \vert\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; &lt; r+1 \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \vert \varphi'(z_{0}) \vert‎,</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که این تناقض حکم را به اثبات می‌رساند‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎2) حالت ‎$ 1 &lt; p &lt; 2 $:\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ثابت می‌کنیم به ازای هر ‎$ z \in \D $‎، ‎$ \vert   \varphi'(z) \vert  \leq  1 $‎ و در نتیجه بنابه لم ‎\ref{le31}‎ رابطه ‎$ \varphi' (0) \neq 0 $‎ برقرار است‎.‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به برهان خلف فرض کنیم ‎$ z_{0} $‎ چنان یافت ‌شود که ‎$ \vert   \varphi'(z_{0}) \vert  &lt;1 $‎. قرار می‌دهیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎$$  r = 1‎ -  ‎\vert   \varphi'(z_{0}) \vert‎ .   ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">دراین‌صورت با توجه به پیوستگی ‎$  \varphi'  $‎ در‎$ z_{0} $‎، ‎$ \delta&gt;0 $‎ چنان  یافت می‌شود که به ازای هر  ‎$  z \in B(z_{0}‎ , ‎\delta  ) $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{p3}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert \varphi' (z)‎ - ‎\varphi'(z_{0}) \vert &lt; r‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">بنابه قضیه ‎\ref{open mapping}‏، $  \varphi  (B(z_{0}‎ , ‎\delta))  $‎ مجموعه‌ای باز در ‎$  \D  $‎ است و ازآنجاکه رابطه ‎(\ref{17})‎ تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎ برقرار است می‌توان نتیجه گرفت   ‎$ \omega_{1} \in \varphi  (B(z_{0}‎ , ‎\delta))  $‎ چنان یافت می‌شود که   ‎$‎ \omega_{1} = \varphi(z_{1}) $‎  </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و رابطه ‎(\ref{17})‎ برای  ‎$  \omega_{1} $‎  برقرار است. در نتیجه داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \sum _{\varphi(z) = \omega_{1}} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} = 1‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا واضح است که </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert \varphi'(z_{1}) \vert ^{p-2} \leq \sum _{\varphi(z) = \omega_{1}} \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه خواهیم داشت </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \vert \varphi'(z_{1}) \vert ^{p-2} \leq 1‎ $.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما چون ‎$  1 &lt; p &lt; 2 $‎‏، نتیجه می‌شود</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{p4}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\vert \varphi'(z_{1}) \vert  \geq 1‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نهایت با استفاده از روابط ‎(\ref{p3})‎ و ‎(\ref{p4})‎ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert \varphi'(z_{0}) \vert = 1‎ - ‎r &lt; 1‎ - ‎\vert \varphi'(z_{1})‎ - ‎\varphi'(z_{0}) \vert \leq  \vert \varphi'(z_{1}) \vert‎ - ‎\vert \varphi'(z_{1})‎ - ‎\varphi'(z_{0}) \vert \leq \vert \varphi'(z_{0}) ‎\vert,‎ ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که این تناقض حکم را در این حالت به اثبات می‌رساند‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حالت دوم: فرض کنیم ‎$ \alpha \neq 0 $. \\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">کافی‌ست ثابت کنیم به ازای هر ‎$ z \in \D $‎،  ‎$ \vert \varphi'(z) \vert \leq 1 $‎ و دراین‌صورت بنابه لم ‎\ref{le31}‎ خواهیم داشت ‎$ \varphi'(0) \neq 0 $‎ و در نتیجه بنابه قضیه ‎\ref{p803}‎ خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است که حکم را به اثبات می‌رساند‎.\\‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در این حالت نیز به برهان خلف عمل می‌کنیم‎.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ a \in \mathbb{D} $‎ چنان یافت شود که ‎$ \vert \varphi'(a) \vert &gt; 1 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ازآنجاکه ‎$ \vert \varphi'(0) \vert &lt; 1 $‎، با توجه به باز و همبند بودن ‎$ \varphi'(\mathbb{D}) $‎، می‌توان نتیجه گرفت ‎$ z_{0} \in \mathbb{D} $‎ چنان موجود است که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$‎ .‎\vert \varphi'(z_{0}) \vert = 1 $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه  ‎$  \delta &gt; 0 $‎ چنان یافت می‌شود که به ازای هر ‎$  z \in B(z_{0}‎ , ‎\delta) $‏،‎   ‎$ \varphi'(z) \neq 0 $‎  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏و ‎$ \varphi $‎ در ‎$ B(z_{0}‎ , ‎\delta)  $‎ یک به یک است.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از رابطه ‎(\ref{17})‎ و نیز با توجه به پیوستگی ‎$ \varphi' $‎، مشابه روند اثبات قضیه ‎\ref{p803}‎ می‌توان نتیجه گرفت به ازای هر ‎$ z \in B(z_{0}‎ , ‎\delta ) $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert \varphi'(z) \vert ^{p-2} ( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \varphi (z) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از جمله برای ‎$  z = z _{0}  $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ (1‎ - ‎\vert z_{0} \vert ^{2} ) ^{\alpha} = ( 1‎ - ‎\vert \varphi (z_{0}) \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \vert z_{0} \vert = \vert \varphi (z_{0}) \vert‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا بنابه لم شوارتس  ‎\ref{le18}‎ نگاشت ‎$  \varphi  $‎  یک دوران است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\lr{\emph{\cite{14}}}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی تحلیلی از ‎$ \D $‎ باشد و ‎$ \varphi(0)=0 $‎. دراین‌صورت ‎$ \varphi $‎ نگاشتی کامل و یک به یک است اگر و تنها اگر تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎ داشته ‌باشیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{2,0}(\omega,\varphi) = (1‎ - ‎\vert \omega \vert^{2})^{\alpha}.$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم $ 1&lt;p&lt;\infty $ و $ -1 &lt;\alpha&lt;\infty $ به‌جز  $(p, \alpha)=(2, 0)$. دراین‌صورت خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران است اگر و تنها اگر ‎$ \varphi(0)=0 $‎ و تقریبا همه جا روی ‎$ \D $‎ داشته ‌باشیم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ N_{p‎ , ‎\alpha} (\omega‎ , ‎\varphi ) = ( 1‎ - ‎\vert \omega \vert ^{2} ) ^{\alpha}‎. ‎$$‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نهایت با توجه به رابطه بین فضاهای بسوف و بسوف‌گونه نتیجه‌های‎ زیر را خواهیم داشت که در مرجع  ‎\lr{‎{\cite{1}}}‎  برای فضاهای بسوف ثابت شده است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ 1&lt;p&lt;2 $‎. دراین‌صورت ‎$ C_{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر فضای بسوف ‎$ B_{p} $‎ است اگر و تنها اگر خودنگاشت ‎$ \varphi $‎ یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{cor}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ 1&lt;p&lt;2 $‎. اگر ‎$ C_{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$ B_{p} $‎ باشد آنگاه ‎$ \varphi $‎ خودنگاشتی یک ‌به ‌یک است.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{cor}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">\section{عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضای بسوف با نرمی معادل}</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">مانند بسیاری از فضاهای توابع تحلیلی روی فضاهای بسوف نیز می‌توان چندین نرم معادل در نظر گرفت. در این فصل یکی </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از معروفترین نرم‌های معادل روی فضای بسوف ‎$  B_{p} $‎ را معرفی و عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف با این نرم معادل  را مورد بررسی قرار می‌دهیم.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎ژو در ‎\lr{{‎\cite[Theorem 4.28]‎{22}}}‎  نشان داد به ازای هر ‎$  n \geq 2 $‎،   </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ f \in  B_{p} \Longleftrightarrow  \int_{\D} \vert f ^{(n)} (z) \vert ^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} ) ^{np‎ - ‎2} d A(z) &lt; \infty‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">به‌عبارت دیگر   ‎$  f \in  B _{p}  $‎ اگر و تنها اگر مشتق ‎$n $‎‎‏-ام  ‎$  f $‎ به فضای برگمن وزن دار ‎$  A_{np‎ - ‎2} ^{p} $‎ متعلق باشد. ‏همچنین با توجه به \lr{{\cite[Theorem 4.28]{22}}} نرم معادل زیر به ازای هر ‎$ n \geq 2 $‎ روی فضای بسوف ‎$ B_{p} $‎ بدست می‌‎آید:</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{n‎ , ‎b‎_{p}} = \sum_{k = 0} ^{n-1} \vert f ^{(k)} (0) \vert‎ + ‎\Vert f^{(n)} \Vert_{A_{np‎ - ‎2}} ^{2}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در مرجع ‎\lr{{\cite{11}}}‎ نویسندگان نگاشت‌های طول‌پا روی فضاهای بسوف مجهز به نرم فوق را مطالعه و بررسی نمودند و نتیجه زیر یکی از نتیجه‌های  اصلی آنهاست. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‌‎\begin{thm}\label{80}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\lr{\emph{\cite[Corollary 2.1]{11}}}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ n\geq 2 $‎، ‎$1&lt; p &lt;\infty $‎، ‎$ p\neq2 $‎ و  ‎$  T‎ : ‎B_{p} \longrightarrow  B_{p} $‎نگاشتی طول‌پا باشد. دراین‌صورت جایگشتی مانند ‎$ \pi $‎ از مجموعه ‎$ \lbrace 0‎ ,1, ‎2‎, ‎3‎, ..., ‎n-1\rbrace $‎ و همچنین به ازای هر ‎$  k \in \lbrace 0‎, 1, ‎2‎,‎ ‎3‎, ..., ‎n-1\rbrace $‎ ثابتی مانند ‎$  \lambda_{k} $‎ که ‎$ \vert \lambda_{k}  \vert = 1 $‎   چنان موجود است که</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{q1}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎T \left( \frac{z^{k}}{k!} \right) = \lambda_{k} \frac{z^{\pi (k)}}{\pi(k)!}‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎ </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با استفاده از قضیه ‎\ref{80}‎ قضیه زیر را‏، که درخصوص  عملگرهای ترکیبی طول‌پا روی فضاهای بسوف مجهز به نرم  </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \Vert  \cdot  \Vert _{n‎ , ‎b‎_{p}} $‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">  است‎‏‏، بیان و اثبات می‌کنیم.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{thm}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض کنیم ‎$ n\geq2 $‎، ‎$ 1&lt;p&lt;\infty $‎ و ‎$ p\neq2 $‎. دراین‌صور‏ت ‎$  C_{\varphi}$‎  عملگری طول‌پا  بر ‎$( B_{p}‎, ‎\Vert  \cdot  \Vert _{n , b_{p}}) $‎ است اگر و تنها اگر خودنگاشت ‎$  \varphi $‎  یک دوران باشد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{thm}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{proof}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">فرض ‌کنیم ‎$  C_{\varphi} $‎ عملگری طول‌پا بر ‎$ \left( B_{p}‎ , ‎\Vert  \cdot  \Vert _{n , b_{p}} \right) $‎  باشد. لذا بنابه قضیه ‎\ref{80}‎ به ازای هر‎  $ k \in \lbrace 0‎ , ‎1‎ ,‎2‎ ,... , ‎n-1 \rbrace $‎  ثابت ‎$  \lambda _{k} $‎ با شرط ‎$  ‎\v‎ert  \lambda_{k}  \vert = 1 $‎ و نیز ‎$  \pi (k)  \in  \lbrace  0‎ , ‎1‎ , ‎2‎ , ... , ‎n-1  \rbrace  $‎ چنان یافت می‌شوند که به ازای هر ‎$  z \in  \D  $‎،</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ C_{\varphi} \left(\frac{z_{k}}{k!}\right) = \lambda_{k} \frac{z ^{\pi(k)}}{\pi(k)!}.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">با قرار دادن ‎$  k = 1 $‎  در رابطه ‎(\ref{q1})‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ C_{\varphi} (z) = \lambda_{1} \frac{z ^{\pi(1)}}{\pi(1)}‎, ‎$$‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎‏و در نتیجه خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \varphi(z) = \lambda_{1} \frac{z ^{\pi(1)}}{\pi(1)}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> که در آن ‎$‎‎\v‎ert \lambda_{1} \vert =1$‎‏. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال برای آنکه ثابت کنیم نگاشت ‎$  \varphi‎ :‎\D  \longrightarrow \D $‎ یک دوران است کافی‌ست نشان دهیم  ‎$  \pi (1) = 1 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎ازآنجاکه رابطه ‎(\ref{q1})‎ به ازای هر ‎$ k \in  \lbrace 0‎ , ‎1‎ , ‎2‎ , ... , ‎n-1 \rbrace $‎ و هر ‎$ z \in \D $‎ برقرار است‏، لذا با انتخاب ‎$ k=0 $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ C_{\varphi}(1) = \lambda_{0} \frac{z^{\pi(0)}}{\pi(0)}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یعنی</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 1 =\lambda_{0} \frac{z^{\pi(0)}}{\pi(0)}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال ازآنجاکه ‎$  \pi(0)  \in \lbrace  0‎, ‎1, ‎2, ..., ‎n-1  \rbrace  $‏،‎   لذا برای ‎$ \pi(0) $‎ دو حالت زیر را خواهیم داشت:</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎حالت اول: ‎$  \pi (0)  \geq 1 $.\\‎حالت دوم: ‎$  \pi (0)  &lt;1  $‎، که به معنای ‎$ \pi(0) = 0 $‎ می‌باشد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎در حالت اول داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ 1 =\Big\vert \frac{\lambda_{0} z^{\pi(0)}}{\pi(0)!} \Big\vert = \vert \lambda_{0} \vert \frac{\vert z^{\pi(0)}\vert}{\vert \pi(0)! \vert} &lt; \frac{\vert \lambda_{0} \vert}{\pi(0)!} \leq 1‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که این تناقض برقراری حالت دوم را نتیجه می‌دهد، یعنی ‎$ \pi(0)=0 $.\\‎ چون نگاشت ‎$ \pi‎: ‎\lbrace 0‎ , ‎1‎ , ‎2‎ , ... , ‎n-1 \rbrace \longrightarrow  \lbrace 0‎ ,‎1‎ , ‎2‎ , ... , ‎n-1 \rbrace  $‎ یک به یک و پوشاست‏، داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ l = \pi(1) \in \lbrace1‎ , ‎2‎ , ... ,‎n-1 ‎\rbrace.‎ ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با انتخاب ‎$  k = 1 $‎ در رابطه ‎(\ref{q1})‎ به ازای هر ‎$  z \in \D $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ C_{\varphi}(z)= \lambda _{1} \frac{z ^{l}}{l!}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه به ازای هر ‎$  z \in \D $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{q2}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\varphi(z) =  \lambda _{1} \frac{z ^{l}}{l!}‎,‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در آن ‎$ \vert \lambda_{1}  \vert = 1 $.‎ از طرف دیگر چون ‎$  m = \pi(2) \in  \lbrace  1‎, ‎2‎, ..., ‎n-1  \rbrace  \setminus  \lbrace  l \rbrace $‎،   با انتخاب ‎$  k = 2 $‎ در  ‎(\ref{q1})‎ به ازای هر ‎$  z \in \D  $‎ داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ C_{\varphi} \left(\frac{z ^{2}}{2!}\right) = \lambda_{2} \frac{z ^{\pi(2)}}{\pi(2)!} = \lambda_{2} \frac{z^{m}}{m!}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه به ازای هر ‎$  z \in \D  $‎، </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{q3}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎\frac{\varphi(z)^{2}}{2} =  \lambda_{2} \frac{z ^{\pi(2)}}{\pi(2)!} = \lambda_{2} \frac{z^{m}}{m!}‎. </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">حال اگر طرفین رابطه ‎(\ref{q2})‎ را به توان ‎2‎ برسانیم داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{q4}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎(\varphi(z) )^{2} = \left(\lambda_{1} \frac{z^{l}}{l!}\right)^{2} = \lambda_{1} ^{2} \frac{z ^{2l}}{(l!)^{2}}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا با مقایسه روابط  ‎(\ref{q3})‎ و ‎(\ref{q4})‎ به ازای هر ‎$  z \in  \D  $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{equation}\label{q5}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\dfrac{\lambda_{1} ^{2}}{2} \frac{z^{2l}}{(l!)^{2}} = \lambda_{2} \frac{z^{m}}{m!}‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{equation}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما با توجه به آنکه طرفین رابطه ‎(\ref{q5})‎ چندجمله‌ا‎‏ی هستند‏، به ازای هر ‎$  z \in  \overline{\D}  $‎ نیز این رابطه برقرار است. در نتیجه  با قرار دادن ‎$  z = 1 $‎  در ‎(\ref{q5})‎  داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \frac{\lambda_{1} ^{2}}{2} \frac{1}{(l!)^{2}} = \lambda_{2} \frac{1}{m!}‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که با قدر مطلق گیری از طرفین نتیجه می‌دهد</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \frac{1}{2(l!)^{2}} = \frac{1}{m!},$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یعنی    ‎$  m! = 2(l!) ^{2}‎  $.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">از طرف دیگر چون طبق ‎(\ref{q5})‎ داریم ‎$  m = 2l  $‎‏، بنابراین</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ (2l!) = 2 (l!)^{2}‎$.‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">لذا</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ (2l) (2l-1) (2l-2)\cdots (l+1)(l)(l-1)\cdots (2)(1)=2 \Big( (l)(l-1)(l-2)\cdots (2)(1) \Big) ^{2}‎, ‎$$‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و در نتیجه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ l(2l-1)(2l-2)\cdot \cdot \cdot (l+1)=l(l-1)(l-2) \cdot \cdot \cdot (2)(1),$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">یا</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ (l)(2l-1)(2l-2) \cdot \cdot \cdot (l+1)=l!.$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> بنابراین  ‎$  l = 1 $‎ و اثبات به اتمام می‌رسد.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎\\‎برای اثبات عکس قضیه فرض ‌کنیم ‎$  \varphi‎ :‎\D  \longrightarrow  \D  $‎  یک دوران باشد. بنابراین به ازای هر ‎$  z\in \D  $‎‏ داریم </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$ \varphi(z) = \lambda z $‏،‎ </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">که در آن ‎$  \vert  \lambda  \vert  = 1 $‎.</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ثابت می‌کنیم عملگر ‎$  C_{\varphi}‎ : ‎(B_{p}‎ , \Vert  \cdot  \Vert_{n , b_{p}} ) \longrightarrow (B_{p}‎ , ‎\Vert  \cdot  \Vert_{n , b_{p}} ) $‎ عملگری طول‌پاست. </p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‏‎برای این کار کافی‏‌ست به ازای هر ‎$  f \in  B_{p} $‎ ثابت کنیم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{n , b_{p}} = \Vert C_{\varphi} f \Vert_{n , b_{p}} = \Vert f \circ \varphi \Vert_{n , b_{p}}‎. ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">ازآنجاکه</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f \Vert_{n , b_{p}} = \sum _{k = 0} ^{n-1} \vert f^{(k)}(0) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert f^{(n)}(z) \vert^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{np-2} d A(z)‎, ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \circ \varphi \Vert_{n , b_{p}} &amp;= \Vert f (\lambda z) \Vert_{n , b_{p}} \\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;"> ‎&amp;= \sum _{k = 0} ^{n-1} \vert \left( f (\lambda z ) \right) ^{(k)} \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert \left( f (\lambda z) \right) ^{(n)} \vert ^{p} \left( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} \right) ^{np-2} d A(z)\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; = \sum _{k = 0} ^{n-1} \vert \lambda ^{k} f ^{(k)} (\lambda z) \vert‎ +‎\int _{\D} \vert \lambda \vert ^{n} \vert f ^{(n)} (\lambda z ) \vert ^{p} \left( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} \right) ^{np-2} d A(z)\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \sum _{k = 0} ^{n-1} \vert \lambda \vert ^{k} \vert f ^{(k)} (0) \vert‎ +‎\int _{\D} \vert \lambda \vert ^{n} \vert f^{(n)} (\lambda z) \vert ^{p} \left( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} \right) ^{np-2} d A(z)‎.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">اما با توجه به آنکه ‎$  \vert \lambda \vert = 1 $‎، داریم</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎$$ \Vert f (\lambda z) \Vert_{n , b_{p}} =\sum _{k = 0} ^{n-1} \vert f^{(k)}(0) \vert‎ + ‎\int_{\D} \vert f ^{(n)} (\lambda z ) \vert ^{p} \left( 1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} \right) ^{np-2} dA(z)‎.‎ ‎$$‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">در نتیجه با تغییر متغیر ‎$  \omega = \lambda z $‎ خواهیم داشت</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\begin{align*}‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\Vert f \circ \varphi \Vert_{n , b_{p}} &amp; = \Vert f (\lambda z) \Vert_{n , b_{p}}\\‎</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎&amp; =  \sum _{k = 0} ^{n-1} \vert f^{(k)}(0) \vert‎ + ‎\int _{\D} \vert f^{(n)}(z) \vert^{p} (1‎ - ‎\vert z \vert ^{2} )^{np-2} dA(z)‎, </p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{align*}‎</p>
<p dir='rtl' style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">و اثبات به اتمام می‌رسد.</p>
<p style=" margin-top:0px; margin-bottom:0px; margin-left:0px; margin-right:0px; -qt-block-indent:0; text-indent:0px; -qt-user-state:0;">‎\end{proof}</p></body></html>