‎\thispagestyle{plain}‎
‎\noindent‎
‎\textbf{\Large\rl{مقدمه}}‎ 
‎\vskip 1cm‎
‎\noindent‎
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ  مختلط باشند. نگاشت خطی      
$\theta:A\to B$
را یک $n$-هم‌ریختی نامیم اگر به ازای هر     
 $a_1,\cdots,a_n\in A $
داشته باشیم:
 $$\theta(a_1\cdots a_n)=\theta(a_1)\cdots\theta(a_n).$$‎
‏همچنین نگاشت خطی    
$\theta:A\to B$
را یک $n$-پاد هم‌ریختی نامیم هرگاه به ازای هر 
 $a_1,\ldots,a_n\in A$
داشته باشیم:
$$\theta(a_1\cdots a_n)=\theta(a_n)\cdots\theta(a_1).$$ 
مفهوم $n$-هم‌ریختی‌ها برای جبرهای باناخ مختلط توسط حجازیان، میرزاوزیری و مصلحیان مطالعه شد. براچیچ و مصلحیان در ... در مورد $3$-هم‌ریختی‌ها روی جبر‌‌‌‌های باناخ با واحد تقریبی کراندار تحقیق کردند و نشان دادند هر $3$-هم‌ریختی حافظ برگشت بین $C^\ast$-جبرها پیوسته و نرم کاهنده است.
این نتیجه بعدا در سال $2009$ توسط پارک و تروت  برای هر $n$-هم‌ریختی  حافظ برگشت بین $C^\ast$-جبرها تعمیم داده شد.
 پیوستگی خودکار  $n$-هم‌ریختی‌ها برای جبرهای باناخ تجزیه‌پذیر در ... بیان شده است.
 
مشابه همین مسأله برای جبرهای توپولوژیک در ... مطالعه شده است. در ابتدا مفاهیم اولیه برای مطالعه این بخش آورده شده است و پس از آن به قضایای اصلی می‌پردازیم.

---------------

در این بخش روش رنسفورد برای $n$-هم‌ریختی‌ها روی جبر‌های باناخ غیر یکدار تعمیم داده می‌شود. 
 
 فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ (نه لزوماً یکدار) باشند که $B$ نیم‌ساده است. در‌این‌صورت هر $n$-هم‌ریختی
\index{$n$-هم‌ریختی}
 پوشای 
$\theta:A\to B$
پیوسته است.

فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ (نه لزوماً غیر یکدار) باشند که $B$   نیم‌ساده است.  در‌این‌صورت هر $n$-پاد هم‌ریختی پوشای 
$\theta:A\to B$
 به‌طور خودکار پیوسته است.
 
 -----------------
 
 فرض کنیم $A$  و $B$  جبر‌های باناخ و $\varphi:A\to B$  نگاشتی خطی باشد. نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 نامیم هرگاه 
‎$‎$‎\varphi(ab+ba)=\varphi(a) \varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a) \quad (a,b\in A).‎$‎$‎‏‎‏
یا به‌طور معادل به ازای هر $a\in A$ ،$\varphi(a^2)=\varphi(a)^2$. هر  $2$-هم‌ریختی ژوردان را معمولا هم‌ریختی ژوردان گوییم.‎
‎
---------------‎
‎
چنانچه $A$ و $B$ حلقه (و در حالت خاص جبر باشند) و نگاشت جمعی  $\varphi$ ضربی هم باشد، یعنی 
$$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \quad (a,b\in A),$$
نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی حلقه‌ای نامیم. برای $n\in \mathbb{N}$، درصورتی نگاشت جمعی $\varphi:A\to B$ را 
$ n$-هم‌ریختی حلقه گویند که به ازای هر $a_1,a_2,\ldots,a_n \in A$، 
$$\varphi\left( \prod_{k=1}^n a_k\right)= \prod_{k=1}^n \varphi(a_k).$$
چنانچه تساوی $\varphi(a^n)=(\varphi(a))^n$ برای هر $a\in A$ برقرار باشد نگاشت جمعی (خطی) $\varphi:A \to B$ را 
$n$-هم‌ریختی ژوردان گویند.

چنانچه $A$ و $B$ جبر باشند و $n$-هم‌ریختی حلقه خطی هم باشد، پسوند حلقه را به‌کار نمی‌برند و $\varphi$‏ را   $n$-هم‌ریختی  نامند.

 واضح است که هر هم‌ریختی حقله‌ای هم‌ریختی ژوردان است ولی عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نیست و البته تحت شرایط خاصی برقرار است. برای مثال هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ  جابه‌جایی $A$ به توی $\mathbb{C}$ یک هم‌ریختی حقله‌‌ ای  است. در حالت کلی‌تر زلاسکو در ... ثابت کرد که هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ $A$ به توی جبر باناخ جابه‌جایی نیم‌ساده $B$ یک هم‌ریختی حلقه‌ای است.

در ...، اسحاقی گرجی مفهوم $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان را برای جبر‌های مختلط مطالعه کرد.
وی نشان داد که هر $3$-هم‌ریختی ژوردان بین جبر‌های باناخ جابه‌جایی $A$ و $B$ یک $3$-هم‌ریختی حلقه‌ای است.
علاوه بر آن نشان داد که قضیه‌ی زلاسکو برای $3$-هم‌ریختی‌های ژوردان‌ها برقرار است که برهانش ایراد دارد ولی برهانی درست برای این مطلب ارائه شده است که البته جبر $A$ را یکدار فرض کرده است.‎
‎
بررسی همریختی های ژوردان‏، آرنز
----------------------‎
‎

 
 