\chapter[پیوستگی خودکار   $n$-هم‌ریختی‌های پوشا]{\huge پیوستگی خودکار $n$-هم‌ریختی‌های پوشا}
مفهوم $n$-هم‌ریختی‌ها
\index{$n$-هم‌ریختی}
‌برای جبرهای باناخ مختلط توسط حجازیان
\LTRfootnote{Hejazian}،
میرزاوزیری
\LTRfootnote{Mirzavaziri}
 و مصلحیان
 \LTRfootnote{Moslehian}
  مطالعه شد
\cite{6}.
براچیچ
\LTRfootnote{Bara$\check{c}$i$\check{c}$}
 و مصلحیان در 
	\cite{1}
در مورد $3$-هم‌ریختی‌ها روی جبر‌‌‌‌های باناخ با واحد تقریبی کراندار تحقیق کردند و نشان دادند هر $3$-هم‌ریختی حافظ برگشت بین 
$C^\ast$-جبرها پیوسته و نرم کاهنده است.
این نتیجه بعدا در سال $2009$ توسط پارک
\LTRfootnote{Park}
 و تروت
\LTRfootnote{Trout}
   برای هر $n$-هم‌ریختی  حافظ برگشت بین $C^\ast$-جبرها تعمیم داده شد
\cite{7}.\\
 پیوستگی خودکار  $n$-هم‌ریختی‌ها برای جبرهای باناخ تجزیه‌پذیر
 \index{تجزیه‌پذیر}
  در
\cite{4}
بیان شده است.
مشابه همین مسئله برای جبرهای توپولوژیک در 
\cite{5}
مطالعه شده است. در این فصل ابتدا مفاهیم اولیه برای مطالعه این موضوع آورده شده است و پس از آن به قضایای اصلی می‌پردازیم.
\section{مفهوم $n$-هم‌ریختی}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای مختلط باشند. نگاشت خطی      
$\theta:A\to B$
را یک $n$-هم‌ریختی
\index{$n$-هم‌ریختی}
 نامیم اگر به‌ازای هر     
 $a_1,\ldots,a_n\in A $
داشته باشیم:
 $$\theta(a_1\cdots a_n)=\theta(a_1)\cdots\theta(a_n).$$
 \end{dfn}
 %-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
  نگاشت خطی    
$\theta:A\to B$
را یک $n$-پادهم‌ریختی
\index{$n$-پادهم‌ریختی}
 نامیم هرگاه به‌ازای هر 
 $a_1,\ldots,a_n\in A$
داشته باشیم:
$$\theta(a_1\cdots a_n)=\theta(a_n)\cdots\theta(a_1).$$ 
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
جبر $B$را تجزیه‌پذیر
\index{تجزیه‌پذیر}
 نامیم هرگاه به‌ازای هر 
 $a\in B$عضوهای  $b,c\in B$
موجود باشند به‌طوری‌که $a=bc$.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
نگاشت خطی 
$\theta:A\to B$ 
را $n$-هم‌ریختی ژوردان
\index{$n$-هم‌ریختی ژوردان}
 نامیم اگر:
$$\theta(a^n)=\theta(a)^n\quad(a\in A).$$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $(G,\circ)$ و $(G',\ast)$ گروه باشند. نگاشت $h:G\to G'$ را هم‌ریختی گروهی گوییم هرگاه:
$$h(a \circ b)=h(a) \ast h(b) \quad (a,b \in G).$$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
برخی نتایج در مورد پیوستگی خودکار $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان روی جبرهای باناخ و $C^\ast$-جبرها در
\cite{3.2}
بررسی شده است.
\section{طیف و شعاع طیفی جبر باناخ}
در این بخش طیف و شعاع طیفی را برای جبرهای یکدار و غیر یکدار تعریف و بررسی می‌کنیم.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
فرض کنیم $A$ یک جبر مختلط یکدار با یکه‌ی $e_A$ باشد. اگر $InvA$ نمادی برای اعضای وارون‌پذیر $A$ باشد، طیف
\index{طیف}
 و شعاع طیفی
 \index{شعاع طیفی}
  عضو $a\in A$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$sp_A(a)=\lbrace\lambda\in \mathbb{C} :\lambda e_A-a\notin InvA\rbrace,$$
$$\rho_A(a)=\sup\lbrace\vert\lambda\vert: \lambda\in sp_A(a)\rbrace.$$
در حالتی که $A$ جبر باناخ باشد بنابه 
\emph{\lr{\cite[Theorem 2.3.8]{5.2}}}
داریم:
$$\rho_A(a)=\lim_{n \to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}=\inf_{n\in \mathbb{N}}\|a^n\|^{\frac{1}{n}}.$$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
اگر $A$یک جبر باناخ دلخواه باشد شبه‌ضرب  $ \diamond$ روی $A$ را به‌صورت زیر داریم:
\begin{center}
$a\diamond b=a+b-ab.$ 
\end{center}
عضو  $a\in A$را شبه-وارون‌پذیر چپ (راست) گوییم هرگاه عضوی مانند $b\in A$ یافت شود به‌طوری‌که:
$$b\diamond a=0\hspace{2mm}(a\diamond b=0).$$
عضو  
$a\in A$ را شبه-وارون‌پذیر گوییم اگر هم شبه-وارون‌پذیر چپ  باشد و هم  شبه-وارون‌پذیر راست باشد. مجموعه‌ی تمام اعضای شبه-وارون‌پذیر را با $q-InvA$ نشان می‌دهیم.
\end{dfn}
 %-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
فرض کنیم $A$ جبر باناخ (مختلط) غیر‌یکدار باشد. دراین‌صورت به وضوح به‌ازای هر $a,b \in A$، 
$a\diamond b=0$ اگر و تنها اگر 
$(e_{A^{\#}}-a)(e_{A^{\#}}-b)=e_{A^{\#}}$، که در اینجا $.e_{A^{\#}}=(0,1)$
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{proof}
فرض کنیم $a\diamond b=0$ پس  $a+b=ab$ و لذا 
$$(e_{A^{\#}}-a)(e_{A^{\#}}-b)=\big((0,1)-(a,0)\big)\big((0,1)-(b,0)\big)=(-a,1)(-b,1)=(ab-a-b,1)=e_{A^{\#}}.$$
برعکس از تساوی بالا پیداست که اگر تساوی $(e_{A^{\#}}-a)(e_{A^{\#}}-b)=e_{A^{\#}}$ برقرار باشد آنگاه 
$a\diamond b=0$.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
 طیف
 \index{طیف}
  یک عضو در جبر‌های غیریکدار با حالت یکدار متفاوت است و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
$$sp_{A}(a)= \lbrace 0\rbrace \cup \lbrace\lambda\in\mathbb{C}\setminus \lbrace0\rbrace :\frac{1}{\lambda}a \notin q-InvA\rbrace.$$
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
به‌ازای هر $ a$ از جبر $ A$ داریم  $sp_{A}(a)=sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big)$ و  
$\rho_{A}(a)=\rho_{A^{\#}}\big((a,0)\big)$.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
ابتدا نشان می‌دهیم 
$.sp_{A}(a)\subseteq sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big) $
فرض کنیم
\begin{center}
$\lambda \in sp_{A}(a)=\lbrace0\rbrace\cup \lbrace\lambda\in\mathbb{C}\setminus \lbrace0\rbrace :\frac{1}{\lambda}a \notin q-InvA\rbrace.$
\end{center}
اگر $ \lambda =0$  به‌سادگی ثابت می‌شود که $ 0\in sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big) $.  پس فرض می‌کنیم که $\lambda \neq 0$
 به برهان خلف فرض کنیم:
$$\lambda\notin sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big)=\lbrace\lambda\in\mathbb{C}:\lambda e_{A^{\#}}-(a,0)\notin Inv A^{\#}\rbrace =\lbrace \lambda\in\mathbb{C}: (-a,\lambda)\notin Inv A^{\#}\rbrace.$$
پس $(b,\lambda^{\prime})\in A^{\#}$ هست به‌طوری‌که 
$(b,\lambda')(-a,\lambda)=(-a,\lambda)(b,\lambda^{\prime})=(0,1)$
بنابراین 
\begin{align*}
(-ba-\lambda' a+\lambda b,\lambda \lambda')=(-ab-a\lambda^{\prime}+\lambda b,\lambda \lambda^{\prime})=(0,1)
&\Rightarrow  -ab-\frac{a}{\lambda}+ \lambda b=0\\
&\Rightarrow \frac{a}{\lambda}\diamond (-\lambda b)=0=-ba-\frac{a}{\lambda}+\lambda b,
\end{align*}
که تناقض است، زیرا $\frac{1}{\lambda} a \notin q-InvA$.\\
حال برعکس  نشان می‌دهیم  
$sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big)\subseteq sp_{A}(a) $. 
فرض کنیم  $\lambda\neq0$  عضوی از 
$sp_{A^{\#}}\big((a,0)\big)$
باشد.\\
 به برهان خلف فرض کنیم  	
$\frac{a}{\lambda}\in q-InvA$ 
باشد پس $b\in A$ هست به‌طوری‌که $\frac{1}{\lambda} a \diamond b=0$. لذا خواهیم داشت:
$$\frac{1}{\lambda}a+b-\frac{1}{\lambda}ba=b\diamond \frac{a}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}a+b-\frac{1}{\lambda}ab=0\Rightarrow \frac{1}{\lambda}a+b=\frac{1}{\lambda}ab=\frac{1}{\lambda}ba,$$
از طرفی بنابه فرض $(0,\lambda)-(a,0)=(-a,\lambda)\notin InvA^{\#}$. کافی است عضوی در $A^{\#}$ پیدا کنیم که وارون $(-a,\lambda)$ باشد و به تناقض برسیم. از تساوی 
$(\frac{-b}{\lambda},\frac{1}{\lambda})(-a,\lambda)=(-a,\lambda)(\frac{-b}{\lambda},\frac{1}{\lambda})=(0,1)$
پیداست که $(-a,\lambda)$ وارون‌پذیر است و لذا تناقض حاصل می‌شود. حال اگر $\lambda=0$، بدیهی است که بنابه تعریف 
$sp_A(a)$، $0\in sp_A(a)$. همچنین داریم:
$$\rho_A(a)=\sup\lbrace |\lambda|: \lambda \in  sp_A(a)\rbrace=\sup\lbrace |\lambda|: \lambda \in  sp_{A^{\#}}(a,0)\rbrace =\rho_{A^{\#}}(a,0). $$
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{پیوستگی خودکار}
در این بخش روش رنسفورد
\LTRfootnote{Ransford}
\cite{8}
 برای $n$-هم‌ریختی‌ها
 \index{$n$-هم‌ریختی}
روی جبر‌های باناخ غیریکدار تعمیم داده می‌شود. نتایج این بخش با نتایج مرجع‌های 
\cite{4}، 
\cite{5}، 
\cite{7}
و 
\cite{8}
متفاوت است.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lem}\label{2.1}
\emph{\lr{\cite[Lemma 1]{8}}} 
فرض کنیم $A$ یک جبر باناخ یکدار با یکه‌ی $e$ باشد و $a\in A$. اگر به‌ازای هر $a_{1}\in A$ داشته باشیم $\rho_{A}(a_1 a)=0$ آنگاه $a\in Rad(A)$.
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
به برهان خلف فرض کنیم $a\in A$ در فرض صدق کند ولی $a\notin Rad(A)$. لذا یک ایده‌آل چپ ماکسیمال مانند $L$ یافت می‌شود به‌طوری‌که
 $a\notin L$
و در نتیجه داریم:
$$L\subset Aa+L\subseteq A\Rightarrow Aa+L=A.$$
چون $e\in A$ پس $a_1\in A$  موجود است به‌طوری‌که $e-a_1a\in L$. لذا $e-a_1a$ نمی‌تواند وارون‌پذیر باشد، یعنی
$1\in sp_A(a_1a)$.
از طرفی بنابه فرض به‌ازای هر $a_1\in A$ داریم 
$\rho_{A}(a_1 a)=\sup \big\lbrace |z|: z\in  sp_A(a_1 a)\big\rbrace= 0$
که یک تناقض است، لذا $a\in Rad(A)$.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
می‌توانیم این نتیجه را برای جبر‌های باناخ غیریکدار هم تعمیم دهیم. به طور کلی این مطلب برای هر جبری برقرار است
\emph{\lr{\cite[Theorem 2.3.3]{palmer}}}.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
عضو $x$ در جبر نرم‌دار $A$ پوچ‌توان
\index{پوچ‌توان}
 توپولوژیکی نامیده می‌شود درصورتی‌که $\rho_A(x)=0$. مجموعه‌ی تمام اعضای پوچ‌توان توپولوژیکی را با $Q(A)$ نشان می‌دهیم. البته این‌گونه اعضا به شبه‌ پوچ‌توان هم معروفند.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
ایده‌آل $I$ در جبر نرم‌دار $A$ را ایده‌آل پوچ گوییم درصورتی‌که مشمول در $Q(A)$ باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lem}\label{2.2}
فرض کنیم $A$ یک جبر باناخ باشد و $a\in A$.
\begin{itemize}
\item[1.] 
اگر به‌ازای هر تعداد متناهی $a_{1},\ldots,a_{n-1}\in A$ تساوی $\rho_{A}(a_1 a_2\ldots a_{n-1} a)=0$  برقرار باشد آنگاه\\
$a\in Rad(A)$.
\item[2.] 
اگر به‌ازای هر تعداد متناهی $a_{1},\ldots,a_{n-1}\in A$ تساوی $\rho_{A}(a a_1 a_2\ldots a_{n-1})=0$  برقرار باشد آنگاه\\
$a\in Rad(A)$.
\end{itemize}
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1.]
فرض کنیم به‌ازای هر $a_{1},\ldots,a_{n-1}\in A$ رابطه  $\rho_{A}(a_1 a_2\cdots a_{n-1} a)=0$ برقرار باشد. بنابه لم
\ref{2.1}
نتیجه می‌شود  
 $a_2\cdots a_{n-1} a\in Rad(A) $. 
چون رادیکال هر جبر نرم‌دار یک ایده‌آل پوچ توپولوژیکی است، یعنی به‌ازای هر $a\in A$، $Rad(A)\subseteq Q(A)$ که در آن 
$Q(A)=\left\lbrace a\in A: \rho_A(a)=0\right\rbrace$.
\lr{\cite[Theorem 2.3.4]{9}}،
نتیجه می‌شود $\rho_A( a_2a_3\cdots a_{n-1} a)=0$.
%\newpage
با ادامه این روند به‌ازای هر $a_{n-1}\in A$ خواهیم داشت $\rho_A(a_{n-1} a)=0$، که بنابه لم 
\ref{2.1}
نتیجه می‌دهد $a\in Rad(A)$. 
\item[2.]
فرض کنیم به‌ازای هر $a_{1},\ldots,a_{n-1}\in A$ رابطه  $\rho_{A}(a a_1 a_2\cdots a_{n-1})=0$ برقرار باشد. بنابه لم
\ref{2.1} نتیجه می‌شود  
 $a a_1\cdots a_{n-2} \in Rad(A) $. 
چون رادیکال هر جبر نرم‌دار یک ایده‌آل پوچ توپولوژیکی است، یعنی به‌ازای هر $a\in A$، $Rad(A)\subseteq Q(A)$ که در آن 
$Q(A)=\left\lbrace a\in A: \rho_A(a)=0\right\rbrace$.
\lr{\cite[Theorem 2.3.4]{9}}،
پس نتیجه می‌شود $\rho_A(a a_1a_2\ldots a_{n-2})=0$. با ادامه این روند به‌ازای هر $a_1\in A$ خواهیم داشت $\rho_A(a a_1)=0$، که بنابه لم 
\ref{2.1}
نتیجه می‌دهد $a\in Rad(A)$.
\end{itemize}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)