\chapter[مشخص‌سازی هم‌ریختی‌های ژوردان روی جبرهای باناخ]{\huge مشخص‌سازی هم‌ریختی‌های ژوردان روی جبرهای باناخ}
\section{معرفی هم‌ریختی‌های ژوردان}
فرض کنیم $A$  و $B$  جبر‌های باناخ و $\varphi:A\to B$  نگاشتی خطی باشد. نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 نامیم هرگاه 
\begin{equation}
\varphi(ab+ba)=\varphi(a) \varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a) \quad (a,b\in A).
\end{equation}
یا به‌طور معادل به ازای هر $a\in A$ ،$\varphi(a^2)=\varphi(a)^2$.
\begin{rem}
هر  $2$-هم‌ریختی ژوردان را معمولا هم‌ریختی ژوردان گوییم.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
چنانچه $A$ و $B$ حلقه (و در حالت خاص جبر باشند) و نگاشت جمعی  $\varphi$ ضربی هم باشد، یعنی 
$$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \quad (a,b\in A),$$
نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی حلقه‌ای نامیم. برای $n\in \mathbb{N}$، درصورتی نگاشت جمعی $\varphi:A\to B$ را 
$ n$-هم‌ریختی حلقه گویند که به ازای هر $a_1,a_2,\ldots,a_n \in A$، 
$$\varphi\left( \prod_{k=1}^n a_k\right)= \prod_{k=1}^n \varphi(a_k).$$
چنانچه تساوی $\varphi(a^n)=(\varphi(a))^n$ برای هر $a\in A$ برقرار باشد نگاشت جمعی (خطی) $\varphi:A \to B$ را 
$n$-هم‌ریختی ژوردان گویند.
\end{dfn}
چنانچه $A$ و $B$ جبر باشند و $n$-هم‌ریختی
\index{$n$-هم‌ریختی}
 حلقه خطی هم باشد، پسوند حلقه را به‌کار نمی‌برند و $\varphi$
را   $n$-هم‌ریختی  نامند.\\
 واضح است که هر هم‌ریختی حقله‌ای هم‌ریختی ژوردان
 \index{هم‌ریختی ژوردان}
  است ولی عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نیست و البته تحت شرایط خاصی برقرار است. برای مثال هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
  جابه‌جایی $A$ به توی $\mathbb{C}$ یک هم‌ریختی حقله‌‌ ای  است. در حالت کلی‌تر زلاسکو در  
\cite{1.2} ثابت کرد که هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
 $A$ به توی جبر باناخ جابه‌جایی نیم‌ساده $B$ یک هم‌ریختی حلقه‌ای
\index{هم‌ریختی حلقه‌ای} 
  است 
\lr{(\cite[Theorem 1.1]{2.2})}.
در 
\cite{3.2}
، اسحاقی گرجی مفهوم $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان را برای جبر‌های مختلط مطالعه کرد.
وی نشان داد که هر $3$-هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 بین جبر‌های باناخ جابه‌جایی $A$ و $B$ یک $3$-هم‌ریختی حلقه‌ای است
\cite{3.2}.\\
علاوه بر آن نشان داد که قضیه‌ی زلاسکو برای $3$-هم‌ریختی‌های ژوردان‌ها برقرار است که برهانش ایراد دارد ولی
برهانی درست برای این مطلب ارائه شده است که البته جبر $A$ را یکدار فرض کرده است.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lem}\label{U}
فرض کنیم $A$  و $B$ جبر‌ باشند و $\varphi:A\to B$  یک هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 باشد. دراین‌صورت به ازای هر $a,b\in A$ داریم:
\begin{equation}
\varphi(aba)=\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a).
\end{equation}
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
\begin{align*}
2\varphi(aba)&=\varphi \left((ab+ba)a+a(ab+ba)\right)-\varphi(ba^2+a^2b)=\left(\varphi(a)\varphi(b)+
\varphi(b) \varphi(a) \right) \varphi(a)\\
&+ \varphi(a) \left(\varphi(a)\varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a) \right)
-\varphi(b)\varphi(a^2)-\varphi(a^2)\varphi(b)=\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a)\\
&+\varphi(b)\varphi(a^2)+
\varphi(a^2)\varphi(b)+\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a)-\varphi(b) \varphi(a^2)-\varphi(a^2)\varphi(b)\\
&=2\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a)
\end{align*}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
در حالت کلی ، هسته‌ی یک $n$-هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 ممکن است که ایده‌آل نباشد.\\
\begin{exam}
 فرض کنیم که $A$ جبر تمام ماتریس های  $3\times3$  بالا مثلثی در $\mathbb{R}$ باشد که پایین و روی قطر اصلی آن صفر باشد. در این جبر حاصل‌ضرب هر  $3$ عضو دلخواه اعضای آن برابر صفر است. بنابراین هر نگاشت خطی از $A$  به $A$  یک $3$-هم‌ریختی ژوردان است اما هسته‌ی آن لزوما ایده‌آل نیست.
\end{exam}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم  
$B=\begin{bmatrix}
0    &a    &b\\
0    &0    &c\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
و
$C=\begin{bmatrix}
0    &a'    &b'\\
0    &0    &c'\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
و
$D=\begin{bmatrix}
0    &a''    &b''\\
0    &0    &c''\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
اعضای دلخواه جبر $A$ باشند. نشان می‌دهیم حاصل‌ضرب این $3$ عضو دلخواه صفر است. داریم:
$$BC=\begin{bmatrix}
0    &0    &ac'\\
0    &0    &0\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}
 \Rightarrow  BCD=\begin{bmatrix}
0    &0    &ac'\\
0    &0    &0\\
0    &0    &0   
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0    &a''   &b''\\
0    &0    &c''\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0   &0    &0\\
0   &0    &0\\
0   &0    &0. 
\end{bmatrix}$$  
حال نشان می‌دهیم نگاشت خطی $\varphi:A\to A$ یک $3$-هم‌ریختی ژوردان است. از طرفی چون $ \varphi(B) \varphi(C) \varphi(D)=0$ باتوجه به تساوی‌های فوق داریم $\varphi(BCD)=\varphi(0)=0$. پس $\varphi(BCD)=\varphi(B) \varphi(C) \varphi(D)$. درنتیجه $\varphi$ یک $3$-هم‌ریختی
است و لذا $3$-هم‌ریختی ژوردان هم هست.
 حال نگاشت $\varphi:A\to A$ را با ضابطه‌ی زیر تعریف می‌کنیم:
$$\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right):=\begin{bmatrix}
0   &a+c    &b\\
0   &0        &0\\
0   &0        &0
\end{bmatrix},$$
نشان می‌دهیم نگاشت $\varphi$ خطی است ولی هسته‌ی آن ایده‌آل نیست.
\begin{align*}
\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_1+a_2     &b_1+b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\right)&=\begin{bmatrix}
0   &a_1+a_2+c_1+c_2     &b_1+b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}
0   &a_1+c_1     &b_1\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0   &a_2+c_2    &b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\\&=\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_1     &b_1\\
0   &0     &c_1\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right)+\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_2     &b_2\\
0   &0     &c_2\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right),
\end{align*}
ضمناً برای هر عدد حقیقی $\lambda$ و هر ماتریس $ B$ از جبر $ A$، به‌سادگی نشان داده می‌شود که $ \varphi(\lambda B)=\lambda \varphi(B)$. از طرفی داریم:
\begin{align*}
\ker(\varphi)=\Bigg\lbrace \begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix} :\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right)&=\begin{bmatrix}
0   &a+c    &b\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0   &0      &0\\
0   &0     &0\\
0   &0     &0
\end{bmatrix} \Bigg\rbrace\\ &=\Bigg\lbrace \begin{bmatrix}
0   &\alpha    &0\\
0   &0           &-\alpha\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}: \alpha\in \mathbb{R}\Bigg\rbrace ,
\end{align*}
که در اینجا هسته‌ی $\varphi$ ایده‌آل نیست. فرض کنیم 
$\begin{bmatrix}
0    &1    &1\\
0    &0    &1\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}\in A$
باشد داریم:
$$\begin{bmatrix}
0    &1    &1\\
0    &0    &1\\
0    &0    &0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0   &\alpha    &0\\
0   &0           &-\alpha\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0   &0    &-\alpha\\
0   &0           &0\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}\notin \ker(\varphi).$$
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
برای ماتریس‌های $ 4\times 4$ هم نظیر مثال فوق می‌توان مثالی ارائه کرد که حاصل‌ضرب هر چهار ماتریس بالا مضلثی صفر شود ولی اگر 
$\varphi:A\to A$ با این ضابطه تعریف شود که هر عضو دلخواه $ A$ را به ماتریسی بنگارد که فقط درایه‌ی سطر اول و ستون چهارم آن ماتریس باقی بماند
و بقیه‌ی درایه‌های آن صفر یاشند، آنگاه $ ker(\varphi)$ ایده‌آل نیست
\cite{3.2}.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{pro}
فرض کنیم $\varphi$  یک هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 از جبر $A$ به توی جبر نیم‌اول
\index{نیم‌اول}
  $B$   باشد. دراین‌صورت $ker\varphi$   یک ایده‌آل $A$است.
\end{pro}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $a\in ker\varphi$ و $x\in A$ عضو دلخواهی باشد. چون $\varphi(a)=0$ و $\varphi$  یک هم‌ریختی ژوردان است ،پس:
$$\varphi(ax+xa)=\varphi(a)\varphi(x)+\varphi(x)\varphi(a)=0\Rightarrow \varphi(xa)=-\varphi(ax),$$
اگر $b=xax$  آنگاه:
\begin{align*}
0=\varphi(ba+ab)=\varphi(xaxa+axax)=\varphi\left( (xa)^2\right) +\varphi\left( (ax)^2\right)=\varphi(xa)^2+\varphi(ax)^2\\=\left( -\varphi(ax)\right) ^2+\varphi(ax)^2=2\varphi(ax)^2.
\end{align*}
چون $B$ نیم‌اول است پس $0$ ایده‌آل نیم‌اول $B$ است و لذا بنابر 
\lr{\cite[Theorem 1.3.43]{5.2}}
اگر $bBb=0$ آنگاه $b=0$. پس چون $ B$ جابه‌جایی است می‌توان گفت:
$$\varphi(ax)^2B=\varphi(ax)B\varphi(ax)=0,$$
پس $\varphi(ax)=0$ لذا $ax\in ker\varphi$. به‌صورت مشابه نتیجه می‌شود $xa\in ker\varphi$ پس حکم برقرار است.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $\varphi$  یک هم‌ریختی ژوردان از جبر  $A$ به‌توی جبر نیم‌اول جابه‌جایی $B$ است. اگر تابعک خطی $f$ روی $A$ موجود باشد به‌طوری‌که $kerf\subseteq ker\varphi$، آنگاه $\varphi$ یک هم‌ریختی است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $a,b$ اعضای دلخواهی در $A$ باشند. اگر $\varphi(a)$ یا $\varphi(b)$ صفر باشد بنابر قضیه‌ی قبل چون $ ker(\varphi)$ ایده‌آل است پس:
$$\varphi(a)=0\Rightarrow a\in ker\varphi\Rightarrow ab\in ker\varphi\Rightarrow \varphi(ab)=0=\varphi(a)\varphi(b)$$
$$\varphi(b)=0\Rightarrow b\in ker\varphi\Rightarrow ab\in ker\varphi\Rightarrow \varphi(ab)=0=\varphi(a)\varphi(b)$$
اگر $\varphi(a)=\varphi(b)$ آنگاه
\begin{align*}
\varphi(a)=\varphi(b)\Rightarrow \varphi(a-b)=0\Rightarrow a-b\in ker\varphi\Rightarrow( a-b)b\in ker\varphi\Rightarrow ab-b^2\in ker\varphi\\\Rightarrow \varphi(ab)=\varphi(b^2)=\varphi(b)^2=\varphi(a)\varphi(b),
\end{align*}
حال فرض کنیم $\varphi(a)\neq \varphi(b)$ و هر دو ناصفر باشند 
لذا $f(a)$و $f(b)$ نیز ناصفرند چون  $kerf\subseteq ker\varphi$ پس
$$x=\frac{a}{f(a)},y=\frac{b}{f(b)}\Rightarrow f(x)=1=f(y)\Rightarrow x-y\in kerf\subseteq ker\varphi\Rightarrow \varphi(x-y)=0\Rightarrow \varphi(x)=\varphi(y),$$
که باتوجه به حالت قبل داریم .$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$ در نتیجه 
$$\dfrac{\varphi(ab)}{f(a)f(b)}=\frac{\varphi(a)}{f(a)} \frac{\varphi(b)}{f(b)},$$
 یعنی $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ و لذا $\varphi$ ضربی است و چون خطی هم هست پس هم‌ریختی است.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
در برخی محاسبات از ضرب لی$a,b$  استفاده می‌کنیم که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
$$[a,b]=ab-ba\quad (a,b\in A).$$
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
پیوستگی ضرب‌ لی به این مفهوم است که اگر $a\ast b=[a,b]$ باشد و $a_n\to a$ و $b_n\to b$، آنگاه
$a_n\ast b_n\to a\ast b$، یعنی $[a_n,b_n]\to [a,b]$ یا به‌طور معادل $a_nb_n-b_na_n\to ab-ba$ که بنابه گزاره‌ی
\ref{P1} همواره برقرار است.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم  $\varphi$یک هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
 جابه‌جایی $A$  با برد چگال به توی جبر باناخ نیم‌اول
 \index{نیم‌اول}
  $B$ باشد. در این‌صورت $\varphi$ یک هم‌ریختی است. به‌علاوه $B$ جابه‌جایی است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
بنا به 
\lr{\cite[Lemma 6.3.2 (e)]{4.2}}
،   به ازای هر $a,b\in A$ داریم  
$\varphi[a,b]^2=[\varphi(a),\varphi(b)]^2$.
چون $A$ جابه‌جایی است لذا $[a,b]=0$ ، بنابراین $[\varphi(a),\varphi(b)]^2=0$. با استفاده از پیوستگی ضرب لی
\index{ضرب لی}
 و چگال بودن برد $\varphi$  نشان 
می‌دهیم که 
  $[\varphi(a),\varphi(b)]$  عضو پوچ‌توان مرکزی $B$ است.\\
 ابتدا نشان می‌دهیم که $[\varphi(a),\varphi(b)]$ عضو مرکزی $B$ است. یعنی نشان می‌دهیم به ازای هر $c\in B$ ، 
 
  $c[\varphi(a),\varphi(b)]=[\varphi(a),\varphi(b)]c$.
چون برد $\varphi$  چگال است داریم:
$$\forall c\in B=\overline{\varphi(A)}\Rightarrow \exists (d_n)\subseteq A : \varphi(d_n)\to c$$
چون ضرب لی
\index{ضرب لی}
 پیوسته است لذا 
$$\varphi(d_n)[\varphi(a),\varphi(b)]\rightarrow c[\varphi(a),\varphi(b)]\;,[\varphi(a),\varphi(b)] \varphi(d_n)\to [\varphi(a),\varphi(b)] c$$
حال بنابه 
\lr{\cite[Lemma 6.3.2 (f)]{4.2}}
به‌ازای هر $a,b,c\in A$ داریم
$\varphi \big[[a,b],c\big]=\big[[\varphi(a),\varphi(b)],\varphi(c)\big]$. حال به‌جای $ c$ همان $d_n$ را قرار می‌دهیم و چون $A$ جابه‌جایی است داریم:
$$\big[[\varphi(a),\varphi(b)],\varphi(d_n)\big]=0,$$
و با حدگیری وقتی $n\to \infty$ نتیجه می‌شود به‌ازای هر $c\in B$ داریم:
 $$ [\varphi(a),\varphi(b)]c=c[\varphi(a),\varphi(b)],$$
  یعنی 
$ [\varphi(a),\varphi(b)]$ عضو مرکزی است. پس $ [\varphi(a),\varphi(b)] B[\varphi(a),\varphi(b)]=B[\varphi(a),\varphi(b)]^2=0$. 
حال باتوجه به\\
\lr{\cite[Theorem1.3.43]{5.2}}
  چون $ B$ نیم‌اول است لازم می‌آید که $ [\varphi(a),\varphi(b)]=0$. بنابراین 
$\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(b)\varphi(a)$ 
حال چون $ab=ba$ داریم:
\begin{center}
$\varphi(ab)=\frac{1}{2}\varphi(ab+ba)=\frac{1}{2}\left(\varphi(a)\varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a)\right) =\varphi(a)\varphi(b),$
\end{center}
بنابراین $\varphi$ یک هم‌ریختی است. حال برای اثبات جابه‌جایی بودن $ B$ فرض کنیم $ b,c\in B$ دلخواه باشند. پس دنباله‌های 
$ (b_n)$ و $ (c_n)$ در $ A$ یافت می‌شوند که $\varphi(b_n)\to b$ و $\varphi(c_n)\to c$. چون$A$ جابه‌جایی و $\varphi$ ضربی است پس:
$$bc=\lim\limits_{n\to \infty} {\varphi(b_n)\varphi(c_n)}=\lim\limits_{n\to \infty} {\varphi(b_nc_n)}=
\lim\limits_{n\to \infty} {\varphi(c_nb_n)}=\lim_{n\to \infty}\varphi(c_n)\lim_{n\to \infty}\varphi(b_n)=cb,$$
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $\varphi$  یک هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 از جبر باناخ $A$ به توی جبر یکدار $B$ با یکه‌ی $e$ باشد. در این‌صورت به ازای هر $a\in A$  اگر 
 $\| a \|< 1$
 آنگاه
  $\varphi(a)\neq e$. 
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
به برهان خلف فرض می‌کنیم $a\in A$ موجود هست که $\| a \| < 1 $  و  $\varphi(a)=e$. اگر
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------- soal????
$b=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n$
 آنگاه
$$ab+a=a\sum\limits_{n=1}^\infty a^n+a=\sum\limits_{n=1}^\infty a^{n+1}+a=\sum\limits_{n=2}^\infty a^n+a=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n=b,$$
پس $ab=b-a$، از طرفی $ ab=ba$. چون $\varphi$ هم‌ریختی ژوردان است پس:
$$\varphi(ab+ba)=\varphi(a)\varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a)$$
$$2\varphi(ab)=2\left(\varphi(b)-\varphi(a)\right)=2\varphi(b).$$
پس $\varphi(a)=0$  که تناقض است.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{ضرب آرنز}
در چند دهه اخیر ریاضی‌دانان تلاش فراوان کرده‌اند تا بتوانند دوگان دوم یک جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
 مانند $A$ را به عنوان توسیعی از $A$ 
تبدیل به یک جبر باناخ نمایند. همان‌طور که می‌دانیم فضای دوگان دوم جبر باناخ $A$، یعنی $A''$، فضای باناخ می‌باشد. امّا برای تبدیل شدن به جبر باناخ نیازمند به تعریف ضربی بر $A''$ می‌باشیم که شرایط لازم یک جبر را دارا باشد و همچنین نرم مفروض بر $A''$ نیز با آن عمل ضرب، یک نرم جبری گردد.\\
ریچارد آرنز $(1919-2000)$ در سال $1951$ دو ضرب بر $A''$، که بعدها به‌عنوان ضرب آرنز
\index{ضرب آرنز}
 اول و دوم معروف شدند، 
تعریف نمود که فضای باناخ $A''$ با هر کدام از این ضرب‌ها به جبر باناخ تبدیل می‌شود
(\lr{\cite[PP.249-252]{6.2}}
و\\
\lr{\cite[P.50]{7.2}}
را ملاحظه کنید).
بنابه تعریف، ضرب آرنز
\index{ضرب آرنز}
 اول $\square $ روی
 $A^{\prime\prime}$
توسط ساختار $A$-مدول روی $A$  تولید می‌شود. به ازای هر $\Phi, \Psi\in A^{\prime\prime} $  و هر
 $f\in A^{\prime}$ و 
$a,b\in A$ 
داریم:
$$<\Phi \square \Psi,f>=<\Phi, \Psi \cdot f>,\quad <\Psi \cdot f,a>=<\Psi,f \cdot a>,\quad <f\cdot a,b>=<f,ab>.$$
به طور مشابه، ضرب آرنز دوم $\diamondsuit$ روی  $A^{\prime\prime}$ با در نظر گرفتن $A$ به‌عنوان $A$-مدول راست تعریف می‌شود. لذا تعریف می‌کنیم:
$$<\Phi \diamondsuit \Psi,f>=<\Psi,f \cdot \Phi>,\quad <f \cdot \Phi,a>=<\Phi, a\cdot f>,\quad <a\cdot f,b>
=<f,ba>.$$
اکنون این سؤال مطرح می‌شود که چرا $A''$ تحت اعمال $\square$ و  $\diamondsuit$ (ضرب‌های آرنز) بسته است؟\\
فرض می‌کنیم $ F, G\in (A'',\square)$. نشان می‌دهیم $F\square G\in A''$. بدین منظور کافی است نشان دهیم نگاشت $ F\square G$ بر $A'$ خطی و کراندار است. برای خطی بودن کافی است به ازای هر $ f,g\in A'$ و $\lambda \in \mathbb{C}$  رابطه زیر برقرار باشد:
$$<F\square G,\lambda f+g>= \lambda <F\square G,f>+<F\square G,g>$$
بنابه تعریف ضرب که در بالا آمده است داریم:
\begin{align*}
<F\square G,\lambda f+g>&=<F,G\cdot(\lambda f+g)>=<F,(\lambda(G\cdot f)+G\cdot g>\\
&=\lambda <F,G\cdot f>+<F,G\cdot g>=\lambda <F\square G,f>+<F\square G, g>
\end{align*}
برای کراندار بودن $F\square G$ باید   $M>0$ یافت شود که به ازای هر $ f\in A'$ داشته باشیم 
.$\|(F\square G)(f)\|\leqslant M \,\|f\|$  چون:
$$\| F(G\cdot f)\| \leqslant \| F \| \, \| G\cdot f\|,$$
از طرفی داریم:
$$\| G\cdot f\|= \sup_{\|a\|\leqslant 1} |(G\cdot f)(a)|=\sup_{\|a\|\leqslant 1} |G(f\cdot a)| \leqslant \| G\|
\sup_{\|a\|\leqslant 1} \| f \cdot a\|,$$
و به‌ازای هر $b\in A$ و هر $a$ در گوی یکه‌ی $ A$ داریم:
$$|(f\cdot a)(b)|=|f(ab)| \leqslant \|f\| \, \|ab\| \leqslant \|f\| \, \|b\|\Rightarrow \|f\cdot a\|=\|f\|.$$
لذا $\|G\cdot f\| \leqslant \|G\| \, \|f\|$   و در نتیجه:
$$\| (F\square G)(f)\|=\| F(G\cdot f)\| \leqslant \| F\| \, \| G\cdot f\| \leqslant \|F\| \, \|G\| \, \|f\|$$
با در نظر گرفتن $M=\|F\| \, \|G\|$ نتیجه می‌شود که  $F\square G $ بر $ A'$ کراندار است. پس $A''$ تحت عمل $ \square$ بسته است. از طرفی
 چون
 
 $\| (F\square G)(f)\|=\sup_{\|f\|\leqslant1} |(F\square G)(f)|$، 
$$\| F\square G\| \leqslant \|F\| \, \|G\|.$$
بنابراین $ (A'',\square)$ یک جبر نرم‌دار است.\\
حال نشان می‌دهیم $A''$ تحت عمل ضرب $ \diamondsuit$  نیز بسته است. یعنی به ازای هر $ F,G\in A''$ ، $ F\diamondsuit G\in A''$  مشابه بالا نشان می‌دهیم نگاشت $F\diamondsuit G$ خطی و کراندار است. بدین منظور فرض می‌کنیم $ f,g \in A'$
و $ \lambda \in \mathbb{C}$.
\begin{align*}
<F\diamondsuit G,\lambda f+g>&=<G,(\lambda f+g) \cdot F>=<G,\lambda (f\cdot F)+ g\cdot F>
=\lambda <G,f\cdot F>+<G,g\cdot F>\\
 &=\lambda <F\diamondsuit G,f>+<F\diamondsuit G,g>
\end{align*}
پس نگاشت $F\diamondsuit G$  بر  $A'$خطی است. حال نشان می‌دهیم نگاشت $F\diamondsuit G$ بر $A'$ کراندار است. نشان می‌دهیم عددی مثبت مانند  $M$ یافت می‌شود به‌طوری‌که به‌ازای هر $f\in A'$ داریم
 $ \|<F\diamondsuit G,f>\| \leqslant M \, \|f\|$. بنابه تعریف نرم:
$$\|<F\diamondsuit G,f>\|=\|(F\diamondsuit G)(f)\|= \|G(f\cdot F)\| \leqslant \|G\| \, \| f \cdot F \|$$
از طرفی به ازای هر $a\in A$ با توجه به تعریف نرم داریم:
\begin{align*}
\| f\cdot F\|= \sup_{\|a\| \leqslant 1}|(f\cdot F)(a)|&=\sup_{\|a\| \leqslant 1} |F(a\cdot f)| \leqslant 
\| F \|\, \sup_{\|a\|_A\leqslant 1} \| a\cdot f\|\\[2mm]
&=\| F\| \,\sup_{\|a\| \leqslant 1} \sup_{\|b\| \leqslant 1} |(a\cdot f)(b)|\leqslant \|F\|\, \|f\|,
\end{align*}
زیرا داریم:
$$|(a\cdot f)(b)| =|f(ba)|\leqslant \|f\|\, \|ba\| \leqslant \|f\|\, \|b\|, \|a\|,$$
پس داریم:
$$\|(F\diamondsuit G)(f)\|\leqslant \|G\| \, \| f \cdot F \| \leqslant \|G\|\, \|F\|\,\|f\|,$$
حال اگر قرار دهیم  $M=\|G\|\, \|F\|$، آنگاه برای هر $f\in A'$ داریم $\|(F\diamondsuit G)(f)\|\leqslant M\, \|f\|$ و لذا $ F\diamondsuit G$ کراندار است و در نتیجه $F\diamondsuit G \in A''$. از طرفی داریم:
$$\|(F\diamondsuit G)(f)\| =\sup_{\|f\| \leqslant 1}|\|(F\diamondsuit G)(f)| \leqslant \|G\| \, \|F\|$$
پس $ (A'',\diamondsuit)$ نیز جبر نرم‌دار است. 
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و $\varphi:A\rightarrow B$ یک هم‌ریختی ژوردان باشد. در این‌صورت 
$\varphi'':(A'',\square)\to (B'',\square)$
هم‌ریختی ژوردان است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $a\in A$ و
 $f\in B^{\prime} $
پس:
 \begin{equation}\label{Z}
 <\varphi^{\prime}(f)\cdot a,a>=<f,\varphi(a^2)>=<f,\varphi(a)\varphi(a)>=<f\cdot \varphi(a), \varphi(a)>=<\varphi^{\prime}\left( f\cdot\varphi(a)\right) ,a>,
 \end{equation}
 نتیجه می‌شود که  $\varphi^{\prime}(f)\cdot a=\varphi^{\prime}\left( f\cdot\varphi(a)\right) $ لذا به ازای هر
  $\Phi\in A^{\prime\prime} $  خواهیم داشت:
\begin{align*}
<\Phi\cdot \varphi^{\prime}(f),a>=<\Phi,\varphi^{\prime}(f) \cdot a>=<\Phi,\varphi^{\prime}(f\cdot \varphi(a)) >=<\varphi^{\prime\prime}(\Phi),f\cdot \varphi(a)>\\=<\varphi^{\prime\prime}(\Phi)\cdot f,\varphi(a)>=<\varphi^{\prime}(\varphi^{\prime\prime}(\Phi)\cdot f),a>.
\end{align*}
بنابراین $\Phi.\varphi^{\prime}(f)=\varphi^{\prime}(\varphi^{\prime\prime}(\Phi).f)$، اکنون داریم:
\begin{align*}
<\varphi^{\prime\prime}(\Phi^2),f>=<\Phi^2\circ \varphi^{\prime},f>=<\Phi,\Phi\cdot \varphi^{\prime}(f)>=<\Phi,\varphi^{\prime}(\varphi^{\prime\prime}(\Phi)\cdot f)>\\=<\varphi^{\prime\prime}(\Phi),\varphi^{\prime\prime}(\Phi)\cdot f>=<\varphi^{\prime\prime}(\Phi)^2,f>.
\end{align*}
بنابراین نتیجه می‌شود $\varphi^{\prime\prime}(\Phi^2)=\varphi^{\prime\prime}(\Phi)^2$. 

\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
روند اثبات بالا دچار اشکال است زیرا رابطه (\ref{Z})  به ‌ازای هر عضو دلخواه در $A$ بدست نیامده است بلکه فقط به ازای
$a\in A$  بدست آمده است. لذا ما قضیه‌ی ‌بالا را به‌صورت زیر اصلاح می‌کنیم.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و $\varphi:A\rightarrow B$ هم‌ریختی باشد. آنگاه
$\varphi^{\prime\prime}$
 هم‌ریختی است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
می‌دانیم روی $A''$ دو ضرب آرنز تعریف شده است ما در این قضیه هر دو ضرب را بررسی می‌کنیم. فرض می‌کنیم
 $(A'',\square)$ و $(B'',\square)$  باشد، نشان می‌دهیم به ازای هر $ \Phi,\Psi \in A''$  داریم:
$$\varphi''(\Phi \square \Psi)\stackrel{?}=\varphi''(\Phi) \square \varphi''(\Psi)$$
کافی است اثر طرفین روی هر $f \in B'$ باهم برابر باشد پس داریم:
\begin{align*}
<\varphi''(\Phi \square \Psi),f>=<(\Phi \square \Psi) \circ \varphi',f>&=<\Phi \square \Psi,\varphi'(f)>=
<\Phi,\Psi.\varphi'(f)>\stackrel{?}=<\Phi,\varphi'(\varphi''(\Psi).f)>\\[2mm]
&=<\varphi''(\Phi),\varphi''(\Psi).f>=<\varphi''(\Phi) \square \varphi''(\Psi),f>,
\end{align*}
حال کافی است برای برقراری رابطه بالا نشان دهیم به ازای هر $ a\in A$ رابطه 
$<\Psi.\varphi'(f),a>=<\varphi'(\varphi''(\Psi).f),a>$
برقرار است. داریم:
\begin{align*}
<\Psi.\varphi'(f),a>&=<\Psi,\varphi'(f).a>\stackrel{?}=<\Psi,\varphi'(f.\varphi(a))>=
<\varphi''(\Psi),f.\varphi(a)>\\
&=<\varphi''(\Psi).f,\varphi(a)>=<\varphi'(\varphi''(\Psi).f),a>
\Rightarrow \Psi.\varphi'(f)=\varphi'(\varphi''(\Psi).f),
\end{align*}
برای برقراری رابطه بالا کافی است نشان دهیم به ازای هر $b\in A$ رابطه 
$<\varphi'(f).a,b>=<\varphi'(f.\varphi(a)),b>$  برقرار است لذا داریم:
\begin{align*}
<\varphi'(f).a,b>=<f,\varphi(ab)>=<f,\varphi(a) \varphi(b)>&=<f.\varphi(a),\varphi(b)>
=<\varphi'(f.\varphi(a)),b>\\
&\Rightarrow \varphi'(f).a=\varphi'(f.\varphi(a)),
\end{align*}
پس نتیجه می‌شود که با درنظر گرفتن ضرب آرنز اول برای $A''$، $\varphi''$ هم‌ریختی است. حال ضرب دوم آرنز را در نظر می‌گیریم و نشان می‌دهیم $\varphi''$ با ضرب دوم آرنز نیز هم‌ریختی است. بدین منظور فرض می‌کنیم 
$(A'',\diamondsuit)$
و
$(B'',\diamondsuit)$
باشند نشان می‌دهیم به ازای هر $\Phi, \Psi \in A''$  داریم:
$$\varphi''(\Phi \diamondsuit \Psi)\stackrel{?}=\varphi''(\Phi) \diamondsuit \varphi''(\Psi)$$
کافی است مانند بالا اثر طرفین روی هر $f\in B'$ باهم برابر باشد. لذا داریم:
\begin{align*}
<\varphi''(\Phi \diamondsuit \Psi),f>&=<(\Phi \diamondsuit \Psi)\circ \varphi',f>=<,\varphi'(f)>=<\Psi,\varphi'(f).\Phi>=<\Psi,\varphi'(f.\varphi''(\Phi))>\\
&=<\varphi''(\Psi),f.\varphi''(\Phi)>=<\varphi''(\Phi) \diamondsuit \varphi''(\Psi),f>,
\end{align*}
برای برقراری رابطه بالا کافی است نشان دهیم رابطه $ \varphi'(f).\Phi=\varphi'(f.\varphi''(\Phi))$
برقرار است پس به ازای هر $ a\in A$ می‌توان گفت:
\begin{align*}
<\varphi'(f).\Phi,a>&=<\Phi,a.\varphi'(f)>=<\Phi,\varphi'(\varphi(a).f)>
=<\varphi''(\Phi),\varphi(a).f>\\
&=<f.\varphi''(\Phi),\varphi(a)>=<\varphi'(f.\varphi''(\Phi)),a>,
\end{align*}
حال مجدد برای برقراری رابطه $a.\varphi'(f)=\varphi'(\varphi(a).f)$  کافی است به ازای هر $b\in A$ برقرار باشد پس می‌توان گفت:
\begin{align*}
<a.\varphi'(f),b>=<\varphi(f),ba>&=<f,\varphi(ba)>=<f,\varphi(b)\varphi(a)>\\
&=<\varphi(a).f,\varphi(b)>=<\varphi'(\varphi(a).f),b>,
\end{align*}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lem}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و $\varphi:A\to B$ یک $3$-هم‌ریختی باشد. دراین‌صورت به ازای هر $a,b \in A$ دلخواه و به ازای هر $f\in B'$ و $F,G\in A''$ عبارات زیر برقرارند.
\begin{itemize}
\item[1.]
$.\varphi'( f.\varphi(a)\varphi(b) ) =\varphi'(f).ab$
\item[2.]
$.\varphi'( \varphi''(F).f.\varphi(a) )=F.\varphi'(f).a$
\item[3.]
$.\varphi'(\varphi(a).f.\varphi''(F) ) =a.\varphi'(f).F$
\item[4.]
$.\varphi'( \varphi''(F)\square \varphi''(G).f)=F\square G.\varphi'(f)$
\item[5.]
$.\varphi'(f.\varphi''(F)\diamondsuit \varphi''(G))=\varphi'(f).F \diamondsuit G $
\end{itemize}
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1.]
فرض کنیم $a,b \in A$ دلخواه و به ازای هر $f\in B'$ و  $F,G\in A''$ دراین‌صورت به ازای هر $c\in A$،
\begin{align*}
<\varphi'(f).ab,c>&=<\varphi'( f),abc>=<f,\varphi(abc)>=<f,\varphi(a)\varphi(b)\varphi(c)>\\
&=<f.\varphi(a)\varphi(b),\varphi(c)>=<\varphi'( f.\varphi(a)\varphi(b) ),c>.
\end{align*}
\item[2.]
به ازای هر $b\in A$ داریم:
\begin{align*}
<F.\varphi'(f).a,b>&=<F.\varphi'(f),ab>=<F,\varphi'(f).ab>\stackrel{(1) }=<F,\varphi'(f.\varphi(a)\varphi(b) )>\\
&=<\varphi'(f),f.\varphi(a)\varphi(b)>=<\varphi''(F).f,\varphi(a)\varphi(b)>\\
&=<\varphi''(F).f,\varphi(a)\varphi(b)>=<\varphi''(F).f.\varphi(a),\varphi(b)>\\
&=<\varphi'( \varphi''(F).f.\varphi(a) ),b>,
\end{align*}
\item[3.]
اثبات این قسمت مشابه قسمت قبل است.
\item[4.]
به ازای هر $ a\in A$ داریم:
\begin{align*}
&<F \square G.\varphi' (f),a>=<F \square G,\varphi ' (f).a>=<F,G.\varphi ' (f).a>\stackrel{(3)}=<F,\varphi ' (\varphi '' (G).f.\varphi (a))>\\
&=<\varphi '' (F),\varphi '' (G),f.\varphi (a)>=<\varphi '' (F) \square \varphi '' (G),f.\varphi (a)>=<\varphi ' (\varphi '' (F) \square \varphi'' (G).f ),a>.
\end{align*}
\item[5.]
برهان مانند قسمت قبل است.
\end{itemize}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و فرض کنیم $\varphi:A\rightarrow B$ یک $3$- هم‌ریختی باشد. دراین‌صورت 
$\varphi^{\prime\prime}$
یک $3$- هم‌ریختی از $(A'',\square)$ به $(B'',\square)$ و از $(A'',\diamondsuit) $ به $(B'',\diamondsuit) $  است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $F,G,H\in A''$ دلخواه باشند. دراین‌صورت به ازای هر $f\in B'$ و بنابه لم بالا داریم:
\begin{align*}
&<\varphi''(F\square G \square H,f>=<F\square G \square H,\varphi'(f)>=<F,G \square H.\varphi'(f)>
=<F,\varphi'(\varphi''(G) \square \varphi''(H).f)>\\
&=<\varphi''(F),\varphi''(G) \square \varphi''(H).f>
=<\varphi''(F)\square \varphi''(G),\varphi''(H).f>=<\varphi''(F)\square \varphi''(G)\square \varphi''(H),f>.
\end{align*}
اکنون برای ضرب آرنز
\index{ضرب آرنز}
 دوم نشان می‌دهیم و به ازای هر $F,G,H \in A''$  و $f\in B'$ مانند بالا داریم:
\begin{align*}
&<\varphi''(F\diamondsuit G \diamondsuit H),f>=<F\diamondsuit G \diamondsuit H,\varphi'(f)>
=<H,\varphi'(f).F\diamondsuit G>=<H,\varphi'(f.\varphi''(F)\diamondsuit \varphi''(G))>\\
&=<\varphi''(H),f.\varphi''(F)\diamondsuit \varphi''(G)>=<\varphi''(G)\diamondsuit \varphi''(H),f.\varphi''(F)>
=<\varphi''(F) \diamondsuit \varphi''(G)\diamondsuit \varphi''(H),f>.
\end{align*}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}\label{Gold}
\textbf{\emph{(گلدشتاین)}}
فرض کنیم $B$ گوی یکه‌ی بسته در فضای باناخ $X$ و $B''$ گوی یکه‌ی بسته در فضای دوگان دوم $X$ یعنی $X''$ باشد. دراین‌صورت تصویر $B$ تحت نگاشت نشاندن متعارف $X$  در $X''$ در $B''$ چگال است به‌عبارتی اگر
$\pi:X\to X''$
آنگاه $\overline{\pi(B)}^{W^{\ast}}=B''$. 
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{pro}
فرض کنیم $X$ و $Y$ جبرهای باناخ باشند و $T:X\to Y$ نرم-نرم پیوسته باشد. دراین‌صورت $T':Y'\to X'$ ضعیف ستاره-ضعیف ستاره پیوسته است.
\end{pro}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $y_{\alpha}\to y$ کافی است نشان دهیم $T'y_{\alpha}\to T'y$. بنابه به گزاره قبلی کافی است نقطه‌وار پیوسته باشد لذا کافی است به ازای هر $x\in X$، $(T'y_{\alpha})(x)\to T'y(x) $  برقرار باشد که بنابه تعریف داریم 
$y_{\alpha}(Tx)\to y(Tx)$
، که بنابه فرض برقرار است.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{cor}\label{7}
چون بنابه گزاره بالا $T':Y'\to X'$ ضعیف ستاره پیوسته است پس نرم-نرم پیوسته است (چون توپولوژی نرم ضعیف‌تر است).
حال مجدد با استفاده از گزاره بالا نتیجه می‌شود که  $T'':X''\to Y''$   
ضعیف-ستاره پیوسته است.
\end{cor}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{pro}\label{8}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و  $\varphi:A\to B$ باشد. دراین‌صورت $\varphi''(a)=\varphi(a)$.
\end{pro}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
نگاشت  $\pi:A\to A''$ با ضابطه $a\mapsto \delta_a$  است که دراینجا مقصود از $\delta_a$  هم‌ریختی مقداری از $A'$ به
$\mathbb{C}$ است با ضابطه‌ی $l \mapsto \delta_a(l)=l(a)$. چون $a\in A$ لذا چون $\varphi''$ روی $A$ اثر نمی‌کند منظور ما همان $\delta_a$ است در واقع دراینجا $\delta_a=a$ پس کافی است نشان دهیم $\varphi''(\delta_a)=\delta_{\varphi(a)}$. چون $\varphi''(\delta_a):B'\to \mathbb{C}$ و $\delta_{\varphi(a)}:B'\to \mathbb{C}$   است لذا به ازای هر $l\in B'$ داریم:
$$\varphi''(\delta_a)(l)=\delta_a(\varphi'(l))=(\varphi'(l))(a)=l(\varphi(a)).$$ 
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و فرض کنیم $\varphi:A\rightarrow B$ یک $n$-هم‌ریختی  پیوسته باشد. دراین‌صورت 
$\varphi^{\prime\prime}$
نیز یک $n$-هم‌ریختی است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $F_1,F_2,\ldots,F_n\in A''$، لذا بنابه قضیه‌ی \ref{Gold}، $a_i^1,\ldots,a_j^n\in A$ وجود دارند به‌طوری‌که 
$$a_i^1\stackrel{w^{\ast}}\to F_1,\ldots, a_j^n \stackrel{w^{\ast}}\to F_n,$$ بنابه نتیجه‌ی \ref{7}، $\varphi''$ ضعیف ستاره پیوسته است و همچنین با توجه به گزاره‌ی \ref{8} داریم:
\begin{align*}
\varphi''(F_1\cdots F_n)=\varphi''(\lim_{w^{\ast}}a_i^1\cdots \lim_{w^{\ast}}a_j^n)
&=\lim_{i}\cdots \lim_{j} \varphi''(a_i^1\cdots a_j^n)\\
&=\lim_{i}\cdots \lim_{j} (\varphi(a_i^1)\cdots \varphi(a_j^n))\\
&=\lim_{i}\varphi(a_i^1)\cdots \lim_{j}\varphi(a_j^n)\\
&=\lim_{i}\varphi''(a_i^1)\cdots \lim_{j} \varphi''(a_j^n)\\
&=\varphi''(F_1)\cdots \varphi''(F_n).
\end{align*}
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
عضو $\Phi_0\in A^{\prime\prime} $  را یکه‌ی مخلوط
\index{یکه‌ی مخلوط}
 نامیم اگر برای $(A^{\prime\prime},\square)$ یکه‌ی راست و برای $(A^{\prime\prime},\diamondsuit)$ یکه‌ی چپ باشد.
\end{dfn}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
جبر باناخ $A$ یکه‌ی تقریبی راست کراندار با کران $m$ دارد اگر و فقط اگر $(A'',\square)$ یکه‌ی راست با نرم حداکثر $m$ داشته باشد و $A$  یکه‌ی تقریبی چپ کراندار با کران $m$ دارد اگر و فقط اگر $(A'',\diamondsuit)$ ‌یکه‌ی چپ با نرم حداکثر $m$ داشته باشد. همچنین $A$ یکه‌ی تقریبی کراندار 
با کران $m$ دارد اگر و تنها اگر $A''$ یکه‌ی مخلوط با نرم حداکثر $m$ داشته باشد. به‌علاوه اگر $A$  آرنز منظم باشد شرط لازم و کافی برای آنکه جبر 
$(A'',\square)$  یکدار باشد آن است که $A$ یکه‌ی تقریبی کراندار داشته باشد.
\lr{\cite[P.310]{6.2}}
\lr{\cite[III]{7.2}}
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{(\lr{\cite[Theorem 3.1]{1}})}
فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای باناخ باشند و $\varphi:A\to B$ یک $3$-همریختی است. اگر $A$ دارای یکه‌ی تقریبی چپ کراندار باشد، آنگاه 
$$\psi(F):=\varphi^{''}(L) \diamondsuit  \varphi^{\prime\prime}(F)\qquad (F\in A^{''})$$
یک هم‌ریختی از $(A'',\diamondsuit)$ به $(B'',\diamondsuit)$ تعریف می‌کند، که در آن $L$ یکه‌ی چپ $A''$ است.\\
به‌علاوه برای هر $a\in A$، $\varphi(a)= \varphi''(L)\diamondsuit \psi(a)$.
به‌طور مشابه اگر $A$ دارای یکه‌ی تقریبی راست کراندار باشد، آنگاه
$$\psi(F):=\varphi^{''}(F) \square \varphi^{\prime\prime}(R)\qquad (F\in A^{''})$$
یک هم‌ریختی از $(A'',\square)$ به $(B'',\square)$ تعریف می‌کند، که در آن $R$ یکه‌ی چپ $A''$ است. به‌علاوه برای هر $a\in A$، 
$.\varphi(a)=\psi(a) \square \varphi''(R)$
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $\varphi:A\rightarrow B$ یک $3$-هم‌ریختی ژوردان بین جبرهای باناخ جابه‌جایی باشد. اگر $A$ دارای یکه‌ی تقریبی کراندار باشد، آنگاه ‌
نگاشت $h:A''\to B''$، که با ضابطه‌ی 
\begin{center}
$h(\Phi):=\varphi^{\prime\prime}(\Phi_0)\square \varphi^{\prime\prime}(\Phi) \quad (\Phi\in A^{\prime\prime}).$
\end{center}
تعریف می‌شود، یک هم‌ریختی است که در آن $ \Phi_0 $ یکه‌ی $ (A'',\square)$ است.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
بنابه 
\lr{\cite[Theorem 2.2]{3.2}}
نگاشت
$\varphi$، یک $3$-هم‌ریختی است. چون $ A$ دارای یکه‌ی تقریبی کراندار است پس بنابه تذکر قبلی $(A'',\square)$ یکه‌ای مانند $\phi_0$ دارد در نتیجه با توجه به قضیه‌ی قبلی یک هم‌ریختی مانند $ h$ وجود دارد که در تساوی فوق صدق می‌کند.
\end{proof}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
\begin{dfn}
$C^{\ast}$-جبر
\index{$C^\ast$-جبر}
$A$ را $W^{\ast}$-جبر
\index{$W^{\ast}$-جبر}
 گویند اگر $A$ جبر فون نویمان
\index{فون نویمان}
 هم باشد، یعنی به‌عنوان فضای باناخ یکریخت و طولپا با دوگان اول یک فضای باناخ مانند $B$ باشد.
\end{dfn}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{\lr{\cite[Theorem 4.1.7]{Murphy}}}
اگر $ A$ یک جبر ناصفر فون-نویمان باشد. آنگاه $ A$ یکدار است.
\end{thm}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
فرض کنیم $A$ یک $W^{\ast}$-جبر و $B$  یک $C^{*}$- جبر باشد و $\varphi:A\rightarrow B$ یک هم‌ریختی ژوردان $\ast$-پایا باشد. اگر $\varphi$ به‌طور ضعیف-نرم پیوسته باشد، آنگاه $\Vert \varphi \Vert\leqslant 1$.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $A_1=\lbrace a\in A:\|a\| \leqslant 1\rbrace$. اولاً $A_1$ محدب است زیرا به ازای هر
 $x,y\in A_1$
و هر $ (0\leqslant t\leqslant 1)t $ داریم:
$$\| tx+(1-t)y \| \leqslant |t| \|x\|+|1-t| \|y\| \leqslant |t| +|1-t|=1\Rightarrow tx+(1-t)y \in A_1,$$
ثانیاً $A_1$  با توپولوژی ضعیف $A$، فشرده
\index{فشرده}
 است زیرا گوی یکه‌ی بسته در $W^{\ast}$-جبر $A$ با توپولوژی ضعیف فشرده است\\
 \lr{\cite[Theorem 4.2.4]{Murphy}}.
چون  $A$ بنابه فرض $W^*$-جبر است پس به وضوح فضای برداری توپولوژیکی است. نشان می‌دهیم $A'$ نقاط $A$ را جدا می‌کند. بدین منظور فرض می‌کنیم $x,y$ اعضای دلخواه متمایز  $A$ باشند. باید نشان دهیم که $\varphi\in A'$ یافت می‌شود به‌طوری‌که $\varphi(x)\neq \varphi(y)$ . 
چون $ x-y\neq 0$  بنابه نتیجه‌ای از قضیه‌ی هان-باناخ
\lr{\cite[Theorem 29.4]{Aliprantis}}
نتیجه می‌شود که $\varphi \in A'$ موجود است به‌طوری‌که:
$$\|\varphi(x-y)\|=\|x-y\|\neq 0,$$
پس $\varphi(x)\neq \varphi(y)$. 
و لذا  $A'$ نقاط $A$ را جدا می‌کند.\\
حال بنا به قضیه‌ی کرین-میلمن لازم می‌آید که
 $A_1=\overline{co}(E(A_1))$. 
 که در آن $E(A_1)$ مجموعه‌ی نقاط اکستریم $A_1$ است و $co(k)$ غلاف محدب $k$ است و بستار با توپولوژی ضعیف روی $A$ است.
هدف  این است که نشان دهیم   .$\|\varphi\| \leqslant 1$چون  $\|\varphi\|=\sup_{a\in A_1} |\varphi(a)|$ لذا کافی است نشان دهیم که به ازای هر $a\in A_1$، 
$.\| \varphi(a)\| \leqslant 1$
فرض کنیم  $a\in A_1$. دراین‌صورت داریم: 
$$a\in A_1=\overline{co}(E(A_1))\Rightarrow \exists (e_\alpha)_{\alpha \in I}\subseteq co(E(A_1)):
e_\alpha \overset{weak} \longrightarrow a,$$
که چون $ \varphi$  بنابه فرض به‌طور ضعیف-نرم پیوسته است. پس:
$$\varphi(e_\alpha) \overset{norm} \longrightarrow \varphi(a).$$
و در نتیجه $\| \varphi(e_\alpha)\| \underset{{\alpha \in I}}\longrightarrow \| \varphi(a)\|$. حال نشان می‌دهیم که به ازای هر 
$\alpha \in I$،   $\| \varphi(e_\alpha)\| \leqslant 1$.
چون  $e_\alpha \in co(E(A_1))$ پس :
$$\exists a_1,a_2,\ldots, a_n \in E(A_1) ,\quad \exists \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{R}^{+}: \quad
e_\alpha=\sum_{i=1}^n \alpha_i a_i  \qquad (0\leqslant \alpha_i \leqslant 1)$$
به‌طوری‌که 
$\sum_{i=1}^n \alpha_i=1$. 
حال کافی است نشان دهیم $\|\varphi(a_i)\|\leqslant 1$.  درحقیقت نشان می‌دهیم به ازای هر $a\in E(A_1)$، رابطه
 $\| \varphi(a)\| \leqslant 1$ برقرار است. بنابه 
 \lr{\cite[Theorem 3.2.17]{30.2}}
$a$ یک طولپای جزئی می‌باشد، یعنی $aa^{\ast}a=a$، چون $\varphi$
، $ \ast$-پایاست وبنابه لم \ref{U} داریم:
$$\varphi(a)=\varphi(aa^{\ast}a)=\varphi(a)\varphi(a^{\ast})\varphi(a)=\varphi(a)\varphi(a)^{\ast}\varphi(a)$$
ولذا می‌توان گفت که $\varphi(a)$ نیز طولپای جزئی است. از طرفی بنابه گزاره‌ی
\ref{X}
نتیجه ‌می‌شود که $\|\varphi(a)\| \leqslant 1$. \\
اکنون داریم: 
$$\|\varphi(e_\alpha)\|=\|\varphi\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i a_i \right)\|
\leqslant \sum_{i=0}^n \alpha_i \|\varphi(a_i)\| \leqslant \sum_{i=1}^n \alpha_i=1$$
پس حکم برقرار است.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------