\thispagestyle{plain}
\noindent
\textbf{\Large\rl{مقدمه}} 
\vskip 1cm
\noindent
این پایان‌نامه شامل چهار فصل است. در فصل اول برخی از تعریف‌ها، مفهوم‌ها و قضیه‌های بنیادی را می‌آوریم که در فصل‌های بعد مورد نیاز خواهند بود. موضوعاتی همچون جبرهای باناخ، $C^*$-جبرها، جبرهای اول و نیم‌اول و برخی از قضیه‌های آنالیز تابعی و نظریه عملگرها را در این فصل بیان می‌کنیم. 

فرض کنیم $A$ و $B$ جبرهای مختلط باشند. نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک $n$-هم‌ریختی نامیم اگر به‌ازای هر $a_1,\cdots,a_n\in A $
داشته باشیم $h(a_1\cdots a_n)=h(a_1)\cdots h(a_n)$. همچنین نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک $n$-پادهم‌ریختی نامیم هرگاه به‌ازای هر $a_1,\ldots,a_n\in A$ داشته باشیم $h(a_1\cdots a_n)=h(a_n)\cdots h(a_1)$. مفهوم $n$-هم‌ریختی‌ها برای جبرهای باناخ مختلط اولین بار توسط حجازیان، میرزاوزیری و مصلحیان مطرح شد. براچیچ و مصلحیان $3$-هم‌ریختی‌ها روی جبر‌‌‌‌های باناخ با یکه‌ی تقریبی کراندار را بررسی کردند و نشان دادند هر $3$-هم‌ریختی حافظ برگشت بین $C^\ast$-جبرها پیوسته و نرم‌کاهنده است. این نتیجه بعداً در سال 2009 توسط پارک و تروت  برای هر $n$-هم‌ریختی  حافظ برگشت بین $C^\ast$-جبرها تعمیم داده شد.

در فصل دوم با همان روش رنسفورد،  $n$-هم‌ریختی‌ها روی جبر‌های باناخ نه لزوماً یکدار مورد مطالعه قرار می‌گیرند و شرایطی را اعمال می‌کنیم که تحت آن $n$-هم‌ریختی‌ها و $n$-پادهم‌ریختی‌های پوشا بین جبرهای باناخ (نه لزوماً یکدار) به‌طور خودکار پیوسته ‌شوند، که این نتایج در حقیقت تعمیم قضیه‌ی معروف جانسون در مورد پیوستگی هم‌ریختی‌های پوشاست.

در فصل سوم هم‌ریختی‌های ژوردان و $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان بین جبرهای باناخ مورد مطالعه و بررسی قرار می‌گیرند. 
 فرض کنیم $A$  و $B$  جبر‌هایی باناخ و $h:A\to B$  نگاشتی خطی باشد. نگاشت $h$  را یک هم‌ریختی ژوردان نامیم هرگاه 
$$h(ab+ba)=h(a) h(b)+h(b)h(a), \quad (a,b\in A),$$
یا به‌طور معادل به‌ازای هر $a\in A$،$h(a^2)=h(a)^2$. 
چنانچه $A$ و $B$ حلقه (و در حالت خاص جبر باشند) و نگاشت جمعی  $h:A\to B$ ضربی هم باشد، 
نگاشت $h$  را یک هم‌ریختی حلقه‌ای نامیم و درصورتی نگاشت جمعی $h:A\to B$ را 
$ n$-هم‌ریختی حلقه گوییم که به‌ازای هر $a_1,a_2,\ldots,a_n \in A$، داشته باشیم
$$h(a_1\cdots a_n)=h(a_1)\cdots h(a_n).$$
چنانچه تساوی $h(a^n)=(h(a))^n$ برای هر $a\in A$ برقرار باشد نگاشت جمعی (خطی) $h:A \to B$ را $n$-هم‌ریختی ژوردان گویند.
واضح است که هر هم‌ریختی حقله‌ای، هم‌ریختی ژوردان است ولی عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نیست و البته تحت شرایط خاصی برقرار است. زلاسکو ثابت کرد که هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ $A$ به توی جبر باناخ و جابه‌جایی و نیم‌ساده $B$ یک هم‌ریختی حلقه‌ای است.
اسحاقی گرجی ضمن بررسی مفهوم $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان بین جبر‌های مختلط، 
نشان داد که هر $3$-هم‌ریختی ژوردان بین جبر‌های باناخ و جابه‌جایی $A$ و $B$ یک $3$-هم‌ریختی حلقه‌ای است.
علاوه بر آن نشان داد که قضیه‌ی زلاسکو برای $3$-هم‌ریختی‌های ژوردان نیز برقرار است، که البته برهانش ایرادی دارد و بعداً برهانی درست برای این مطلب ولی با فرض یکدار بودن جبر $A$ ارائه شده است.

در این فصل نشان می‌دهیم تحت شرایطی خاص، هم‌ریختی‌های ژوردان به یک هم‌ریختی تبدیل می‌شوند. 
ضرب‌های اول و دوم آرنز روی $A''$ (فضای دوگان دوم $A$) تعریف می‌کنیم، که تحت این ضرب‌ها $A''$ تبدیل به جبر باناخ می‌شود. سپس متناظر با هر نگاشت خطی $h:A\to B$ بین جبرهای باناخ $A$ و $B$ نگاشت‌های $h':B'\to A'$ و $h'':A''\to B''$ را با ضابطه‌های 
$$h''(\phi)=\phi\circ h' \quad (\phi\in A''),$$
$$h'(f)=f\circ h \quad (f\in B'),$$
تعریف می‌کنیم و  نشان می‌دهیم اگر $h:A\rightarrow B$ یک هم‌ریختی یا $3$-هم‌ریختی بین جبرهای باناخ $A$ و $B$  باشد، آنگاه $h^{\prime\prime}:A''\to B''$ نیز یک هم‌ریختی یا $3$-هم‌ریختی بین  $A''$ و $B''$ (مجهز به ضرب‌های آرنز) است. ضمناً نشان می‌دهیم این نتیجه برای $n$-هم‌ریختی‌های پیوسته نیز برقرار است.

در فصل چهارم فرض کنیم $A$ و $B$ دو جبر دلخواه باشند. نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی ژوردان تعمیم‌یافته
 نامیم هرگاه هم‌ریختی ژوردان 
$h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a\in A$ داشته باشیم $h(a^2)=h(a)h'(a)$. همچنین نگاشت خطی $h:A\to B$ را یک هم‌ریختی تعمیم‌یافته نامیم هرگاه  هم‌ریختی 
$h':A\to B$ موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر $a,b\in A$ داشته باشیم $h(ab)=h(a)h'(b)$.

فرض کنیم $X$ و $Y$ فضاهایی نرم‌دار،  $\epsilon \geqslant 0$  و تابع  $f:X\to Y$ مفروض باشد. دراین‌صورت گوییم تابع $f$، 
$\epsilon$-جمعی است هرگاه
$$\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leqslant \epsilon,\quad (x,y \in X).$$
اگر $X$ فضایی نرم‌دار، $Y$ فضایی باناخ، $\epsilon \geqslant 0$  و  $f:X\to Y$  تابعی $ \epsilon$-جمعی باشد، آنگاه تابع $T:X\to Y$ با ضابطه‌ی زیر 
$$T(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^n}f(2^nx),\quad (x\in X),$$
یک تابع جمعی یکتاست که به‌ازای هر $x\in X$ در نامعادله‌ی زیر صدق می‌کند:
$$\|f(x)-T(x)\| \leqslant \epsilon .$$
راسیاس، گاجدا و بورگین مسئله‌ی پایداری هم‌ریختی‌های حلقه‌ای بین جبرهای باناخ یکدار را مطالعه و بررسی کردند. همچنین بادورا پایداری هایرز-اولام را برای هم‌ریختی‌های حلقه، که تعمیمی از نتایج بورگین بود، اثبات کرد. در این فصل پایداری هایرز-اولام  هم‌ریختی‌های تعمیم‌یافته بین جبرهای باناخ و جبرهای فرشه را مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم.
\vskip 2cm
این پایان‌نامه بر اساس مقالات زیر تدوین گردیده است:
\begin{latin}
\begin{enumerate}
\item  {\large  M. Eshaghi Gordji, A. Jabbari and E. Karapinar, Automatic continuity of surjective $n$-homomorphisms on Banach algebra,  \textit{Bull. Iran. Math. Soc.} {\bf{41}} (2015), no. 5, 1207--1211.}
 \item {\large M. Eshaghi Gordji, M. Bavand Savadkouhi, C. H. Park and J. Lee, Generalized Jordan homomorphism in Frechet algebras, \textit{J. Comput. Anal. Appl.} {\bf 16}  (2014), no. 2, 391--401.}
\item {\large A. Zivari Kazempour, A characterization of Jordan homomorphism on Banach algebras, \textit{Chinese J. Math.} (2014), 3 pages.} 
\end{enumerate}
\end{latin}
