	\chapter[مشخص‌سازی هم‌ریختی‌های ژوردان بر جبرهای باناخ]{\huge مشخص‌سازی هم‌ریختی‌های ژوردان بر جبرهای باناخ}
در این فصل هم‌ریختی‌های ژوردان بین جبرهای باناخ را مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم و نشان می‌دهیم تحت شرایطی خاص، هم‌ریختی‌های ژوردان به یک هم‌ریختی تبدیل می‌شوند. 
\section{معرفی هم‌ریختی‌های ژوردان}
فرض کنیم $\varphi:A\to B$ نگاشتی خطی بین جبرهای $A$ و $B$ باشد. نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 نامیم هرگاه 
\begin{equation}
\varphi(ab+ba)=\varphi(a) \varphi(b)+\varphi(b)\varphi(a) \quad (a,b\in A).
\end{equation}
یا به‌طور معادل به‌ازای هر $a\in A$ ،$\varphi(a^2)=\varphi(a)^2$.
\begin{rem}
هر  $2$-هم‌ریختی ژوردان را معمولا هم‌ریختی ژوردان گوییم.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{dfn}
چنانچه $A$ و $B$ حلقه 
\emph{(}و در حالت خاص جبر باشند\emph{)}
 و نگاشت جمعی  $\varphi$ ضربی هم باشد، یعنی 
$$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \quad (a,b\in A),$$
نگاشت $\varphi$  را هم‌ریختی حلقه‌ای نامیم. برای $n\in \mathbb{N}$، درصورتی نگاشت جمعی $\varphi:A\to B$ را 
$ n$-هم‌ریختی حلقه گویند که به‌ازای هر $a_1,a_2,\ldots,a_n \in A$، داشته باشیم:
$$\varphi(a_1\cdots a_n)=\varphi(a_1)\cdots \varphi(a_n).$$
چنانچه $A$ و $B$ جبر باشند و $n$-هم‌ریختی
\index{$n$-هم‌ریختی}
 حلقه خطی هم باشد، پسوند حلقه را به‌کار نمی‌برند و $\varphi$
را   $n$-هم‌ریختی  نامند.
\end{dfn}
 واضح است که هر هم‌ریختی حقله‌ای، هم‌ریختی ژوردان
 \index{هم‌ریختی ژوردان}
  است ولی عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نیست و البته تحت شرایط خاصی برقرار است. برای مثال هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
  جابه‌جایی $A$ به‌توی $\mathbb{C}$ یک هم‌ریختی حقله‌‌ ای است. در حالت کلی‌تر زلاسکو در  
\cite{1.2} ثابت کرد که هر هم‌ریختی ژوردان از جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
 $A$ به‌توی جبر باناخ جابه‌جایی نیم‌ساده $B$ یک هم‌ریختی حلقه‌ای
\index{هم‌ریختی حلقه‌ای} 
  است 
\lr{(\cite[Theorem 1.1]{2.2})}.
در 
\cite{3.2}، اسحاقی گرجی
\LTRfootnote{Eshaghi Gordji}
 مفهوم $n$-هم‌ریختی‌های ژوردان را برای جبر‌های مختلط مطالعه کرد.
وی نشان داد که هر $3$-هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 بین جبر‌های باناخ جابه‌جایی $A$ و $B$ یک $3$-هم‌ریختی حلقه‌ای است
\cite{3.2}.\\
علاوه بر آن نشان داد که قضیه‌ی زلاسکو
\LTRfootnote{Zelazko}
 برای $3$-هم‌ریختی‌های ژوردان نیز‌ برقرار است که به نظر می‌رسد ایرادی در برهان وجود دارد. البته در حالتی که جبر $A$ یکدار باشد برهانی دقیق برای این مطلب در 
\lr{\cite[Theorem 2.4]{Zivari}}
ارائه شده‌است.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
در حالت کلی، هسته‌ی یک $n$-هم‌ریختی ژوردان
\index{هم‌ریختی ژوردان}
 ممکن است که ایده‌آل نباشد.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{exam}
 فرض کنیم که $A$ جبر تمام ماتریس های  $3\times3$  بالا مثلثی در $\mathbb{R}$ باشد که پایین و روی قطر اصلی آن صفر باشد. در این جبر حاصل‌ضرب هر  $3$ عضو دلخواه اعضای آن برابر صفر است. بنابراین هر نگاشت خطی از $A$  به $A$  یک $3$-هم‌ریختی ژوردان است اما هسته‌ی آن لزوما ایده‌آل نیست.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
برای دیدن این مطلب فرض کنیم  
$B=\begin{bmatrix}
0    &a    &b\\
0    &0    &c\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
و
$C=\begin{bmatrix}
0    &a'    &b'\\
0    &0    &c'\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
و
$D=\begin{bmatrix}
0    &a''    &b''\\
0    &0    &c''\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}$
اعضای دلخواه جبر $A$ باشند. نشان می‌دهیم حاصل‌ضرب این $3$ عضو دلخواه صفر است. داریم:
$$BC=\begin{bmatrix}
0    &0    &ac'\\
0    &0    &0\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}
 \Rightarrow  BCD=\begin{bmatrix}
0    &0    &ac'\\
0    &0    &0\\
0    &0    &0   
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0    &a''   &b''\\
0    &0    &c''\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0   &0    &0\\
0   &0    &0\\
0   &0    &0 
\end{bmatrix}$$ . 
حال نشان می‌دهیم نگاشت خطی $\varphi:A\to A$ یک $3$-هم‌ریختی ژوردان است. از طرفی چون $ \varphi(B) \varphi(C) \varphi(D)=0$ باتوجه به تساوی‌های فوق داریم $\varphi(BCD)=\varphi(0)=0$. پس $\varphi(BCD)=\varphi(B) \varphi(C) \varphi(D)$. درنتیجه $\varphi$ یک $3$-هم‌ریختی
است و لذا $3$-هم‌ریختی ژوردان هم هست.
 حال نگاشت $\varphi:A\to A$ را با ضابطه‌ی زیر تعریف می‌کنیم:
$$\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right):=\begin{bmatrix}
0   &a+c    &b\\
0   &0        &0\\
0   &0        &0
\end{bmatrix}.$$
نشان می‌دهیم نگاشت $\varphi$ خطی است ولی هسته‌ی آن ایده‌آل نیست.
\begin{align*}
\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_1+a_2     &b_1+b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\right)&=\begin{bmatrix}
0   &a_1+a_2+c_1+c_2     &b_1+b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}
0   &a_1+c_1     &b_1\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0   &a_2+c_2    &b_2\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}\\&=\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_1     &b_1\\
0   &0     &c_1\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right)+\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a_2     &b_2\\
0   &0     &c_2\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right).
\end{align*}
ضمناً برای هر عدد حقیقی $\lambda$ و هر ماتریس $ B$ از جبر $ A$، به‌سادگی نشان داده می‌شود که $ \varphi(\lambda B)=\lambda \varphi(B)$. از طرفی داریم:
\begin{align*}
ker(\varphi)=\Bigg\lbrace \begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix} :\varphi\left(\begin{bmatrix}
0   &a     &b\\
0   &0     &c\\
0   &0     &0
\end{bmatrix}\right)&=\begin{bmatrix}
0   &a+c    &b\\
0   &0       &0\\
0   &0       &0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0   &0      &0\\
0   &0     &0\\
0   &0     &0
\end{bmatrix} \Bigg\rbrace\\ &=\Bigg\lbrace \begin{bmatrix}
0   &\alpha    &0\\
0   &0           &-\alpha\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}: \alpha\in \mathbb{R}\Bigg\rbrace.
\end{align*}
که نتیجه می‌دهد هسته‌ی $\varphi$ ایده‌آل نیست. زیرا اگر فرض کنیم 
$\begin{bmatrix}
0    &1    &1\\
0    &0    &1\\
0    &0    &0
\end{bmatrix}\in A$
داریم:
$$\begin{bmatrix}
0    &1    &1\\
0    &0    &1\\
0    &0    &0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0   &\alpha    &0\\
0   &0           &-\alpha\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0   &0    &-\alpha\\
0   &0           &0\\
0   &0           &0
\end{bmatrix}\notin ker(\varphi).$$
\end{exam}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{rem}
برای ماتریس‌های $ 4\times 4$ هم نظیر مثال فوق می‌توان مثالی ارائه کرد که حاصل‌ضرب هر چهار ماتریس بالا مثلثی صفر شود ولی اگر 
$\varphi:A\to A$ با این ضابطه تعریف شود که هر عضو دلخواه $ A$ را به ماتریسی بنگارد که فقط درایه‌ی سطر اول و ستون چهارم آن ماتریس باقی بماند
و بقیه‌ی درایه‌های آن صفر یاشند، آنگاه $ ker(\varphi)$ ایده‌آل نیست
\cite{3.2}.
\end{rem}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{ضرب آرنز}
در چند دهه‌ی اخیر ریاضی‌دانان تلاش فراوان کرده‌اند تا بتوانند دوگان دوم یک جبر باناخ
\index{جبر باناخ}
 مانند $A$ را به‌عنوان توسیعی از $A$ 
تبدیل به یک جبر باناخ نمایند. همان‌طور که می‌دانیم فضای دوگان دوم جبر باناخ $A$، یعنی $A''$، فضایی باناخ می‌باشد. امّا برای تبدیل شدن به جبر باناخ نیازمند به تعریف ضربی بر $A''$ می‌باشیم که شرایط لازم یک جبر را دارا باشد و همچنین نرم مفروض بر $A''$ نیز با آن عمل ضرب، یک نرم جبری گردد.\\
ریچارد آرنز
\LTRfootnote{Arens}
 $(1919-2000)$ در سال $1951$ دو ضرب بر $A''$، که بعدها به‌عنوان ضرب آرنز
\index{ضرب آرنز}
 اول و دوم معروف شدند، 
تعریف نمود که فضای باناخ $A''$ با هر کدام از این ضرب‌ها به جبر باناخ تبدیل می‌شود
(\lr{\cite[p. 249]{6.2}}
و
\lr{\cite[p. 50]{7.2}}
را ملاحظه کنید).
بنابه تعریف، ضرب آرنز
\index{ضرب آرنز}
 اول \scalebox{0.8}{$\square$} روی
 $A^{\prime\prime}$
توسط ساختار $A$-مدول چپ روی $A$  تولید می‌شود. به‌ازای هر $\Phi, \Psi\in A^{\prime\prime} $  و هر
 $f\in A^{\prime}$ و 
$a,b\in A$ 
داریم:
$$\left<\Phi \scalebox{0.8}{$\scalebox{0.8}{$\square$}$} \Psi,f\right>=\left<\Phi, \Psi \cdot f\right>,\quad \left<\Psi \cdot f,a\right>=\left<\Psi,f \cdot a\right>,\quad \left<f\cdot a,b\right>=\left<f,ab\right>.$$
به‌طور مشابه، ضرب آرنز دوم $\diamondsuit$ روی  $A^{\prime\prime}$ با در نظر گرفتن $A$ به‌عنوان $A$-مدول راست تعریف می‌شود. لذا تعریف می‌کنیم:
$$\left<\Phi \diamondsuit \Psi,f\right>=\left<\Psi,f \cdot \Phi\right>,\quad \left<f \cdot \Phi,a\right>=\left<\Phi, a\cdot f\right>,\quad \left<a\cdot f,b\right>
=\left<f,ba\right>.$$
اکنون این سؤال مطرح می‌شود که چرا $A''$ تحت اعمال \scalebox{0.8}{$\square$} و  $\diamondsuit$ (ضرب‌های آرنز) بسته است؟\\
فرض ‌کنیم $ F, G\in (A'',\scalebox{0.8}{$\square$})$. نشان می‌دهیم $F\scalebox{0.8}{$\square$} G\in A''$. بدین منظور کافی است نشان دهیم نگاشت $ F\scalebox{0.8}{$\square$} G$ بر $A'$ خطی و کراندار است. برای خطی بودن کافی است به‌ازای هر $ f,g\in A'$ و $\lambda \in \mathbb{C}$  رابطه زیر برقرار باشد:
$$\left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G,\lambda f+g\right>= \lambda \left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G,f\right>+\left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G,g\right>.$$
بنابه تعریف ضرب که در بالا آمده است داریم:
\begin{align*}
\left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G,\lambda f+g\right>&=\left<F,G\cdot(\lambda f+g)\right>=\left<F,\lambda(G\cdot f)+G\cdot g\right>\\
&=\lambda \left<F,G\cdot f\right>+\left<F,G\cdot g\right>=\lambda \left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G,f\right>+\left<F\scalebox{0.8}{$\square$} G, g\right>.
\end{align*}
برای کراندار بودن $F\scalebox{0.8}{$\square$} G$ باید   $M>0$ یافت شود که به‌ازای هر $ f\in A'$ داشته باشیم 
$\|(F\scalebox{0.8}{$\square$} G)(f)\|\leqslant M \,\|f\|$.  چون:
$$\| F(G\cdot f)\| \leqslant \| F \| \, \| G\cdot f\|,$$
و از طرفی داریم:
$$\| G\cdot f\|= \sup_{\|a\|\leqslant 1} |(G\cdot f)(a)|=\sup_{\|a\|\leqslant 1} |G(f\cdot a)| \leqslant \| G\|
\sup_{\|a\|\leqslant 1} \| f \cdot a\|,$$
و به‌ازای هر $b\in A$ و هر $a$ در گوی یکه‌ی $ A$ داریم:
$$|(f\cdot a)(b)|=|f(ab)| \leqslant \|f\| \, \|ab\| \leqslant \|f\| \, \|b\|\Rightarrow \|f\cdot a\|=\|f\|,$$
لذا نتیجه می‌شود $\|G\cdot f\| \leqslant \|G\| \, \|f\|$   و بنابراین:
$$\| (F\scalebox{0.8}{$\square$} G)(f)\|=\| F(G\cdot f)\| \leqslant \| F\| \, \| G\cdot f\| \leqslant \|F\| \, \|G\| \, \|f\|.$$
با در نظر گرفتن $M=\|F\| \, \|G\|$ نتیجه می‌شود $F\scalebox{0.8}{$\square$} G $ بر $ A'$ کراندار است. پس $A''$ تحت عمل \scalebox{0.8}{$\scalebox{0.8}{$\square$}$} بسته است. از طرفی
 چون 
 $\|F\scalebox{0.8}{$\square$} G\|=\sup_{\|f\|\leqslant1} |(F\scalebox{0.8}{$\square$} G)(f)|$، پس 
$$\| F\scalebox{0.8}{$\square$} G\| \leqslant \|F\| \, \|G\|.$$
بنابراین $ (A'',\scalebox{0.8}{$\square$})$ یک جبر نرم‌دار است.\\
حال نشان می‌دهیم $A''$ تحت عمل ضرب $ \diamondsuit$  نیز بسته است. یعنی به‌ازای هر $ F,G\in A''$ ، $ F\diamondsuit G\in A''$  مشابه بالا نشان می‌دهیم نگاشت $F\diamondsuit G$ خطی و کراندار است. بدین منظور فرض می‌کنیم $ f,g \in A'$
و $ \lambda \in \mathbb{C}$. دراین‌صورت
\begin{align*}
\left<F\diamondsuit G,\lambda f+g\right>&=\left<G,(\lambda f+g) \cdot F\right>=\left<G,\lambda (f\cdot F)+ g\cdot F\right>
=\lambda \left<G,f\cdot F\right>+\left<G,g\cdot F\right>\\
 &=\lambda \left<F\diamondsuit G,f\right>+\left<F\diamondsuit G,g\right>.
\end{align*}
پس نگاشت $F\diamondsuit G$  بر  $A'$خطی است. حال نشان می‌دهیم نگاشت $F\diamondsuit G$ بر $A'$ کراندار است. نشان می‌دهیم عددی مثبت مانند  $M$ یافت می‌شود به‌طوری‌که به‌ازای هر $f\in A'$ داریم
 $ \|\left<F\diamondsuit G,f\right>\| \leqslant M \, \|f\|$. بنابه تعریف نرم:
$$\|\left<F\diamondsuit G,f\right>\|=\|(F\diamondsuit G)(f)\|= \|G(f\cdot F)\| \leqslant \|G\| \, \| f \cdot F \|.$$
از طرفی به‌ازای هر $a\in A$ با توجه به تعریف نرم:
\begin{align*}
\| f\cdot F\|= \sup_{\|a\| \leqslant 1}|(f\cdot F)(a)|&=\sup_{\|a\| \leqslant 1} |F(a\cdot f)| \leqslant 
\| F \|\, \sup_{\|a\| \leqslant 1} \| a\cdot f\|\\[2mm]
&=\| F\| \,\sup_{\|a\| \leqslant 1} \sup_{\|b\| \leqslant 1} |(a\cdot f)(b)|\leqslant \|F\|\, \|f\|,
\end{align*}
زیرا داریم:
$$|(a\cdot f)(b)| =|f(ba)|\leqslant \|f\|\, \|ba\| \leqslant \|f\|\, \|b\|\, \|a\|,$$
و در نتیجه:
$$\|(F\diamondsuit G)(f)\|\leqslant \|G\| \, \| f \cdot F \| \leqslant \|G\|\, \|F\|\,\|f\|.$$
حال اگر قرار دهیم  $M=\|G\|\, \|F\|$، آنگاه برای هر $f\in A'$ داریم $\|(F\diamondsuit G)(f)\|\leqslant M\, \|f\|$ و لذا $ F\diamondsuit G$ کراندار است و در نتیجه $F\diamondsuit G \in A''$. از طرفی داریم:
$$\|F\diamondsuit G\| =\sup_{\|f\| \leqslant 1}|(F\diamondsuit G)(f)| \leqslant \|G\| \, \|F\|,$$
پس $ (A'',\diamondsuit)$ نیز جبر نرم‌دار است. 
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
\emph{\lr{\cite[Theorem A.3.46]{5.2}}}
فرض کنیم $X$ و $Y$ جبرهای نرم‌دار باشند و $ T\in \mathcal{B}(X,Y)$. دراین‌صورت یک نگاشت یکتا مانند $T':Y'\to X'$ وجود دارد
که با ضابطه‌ی $T'(f)=f \circ T$، یعنی به‌ازای هر $f\in Y'$ و هر $x\in X$
$$\left( T'(f)\right)(x)=f(Tx),$$
تعریف می‌شود و با توپولوژی ضعیف‌ستاره روی $X'$ و $Y'$ پیوسته است. به‌علاوه $T'\in \mathcal{B}(Y',X')$.
\end{thm}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{proof}
فرض کنیم $f\in Y'$ و $ (f_\alpha)$ توری در $Y'$ باشد که با توپولوژی ضعیف‌ستاره $f_\alpha\to f$. برای پیوستگی $ T'$
نشان می‌دهیم $T'(f_{\alpha})\to T'(f)$.
چون همگرایی در توپولوژی ضعیف‌ستاره مد نظر است  لذا کافی است که به‌ازای هر $x\in X$، $(T'(f_{\alpha}))(x)\to (T'f)(x) $ که بنابه تعریف معادل است با اینکه
$f_{\alpha}(Tx)\to f(Tx)$
 که بنابه فرض برقرار است.
\end{proof}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
... (ادامه مطالب حذف شده است)